[math]1993年東京大学理系前期数学問題5

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問題

$1$と$0$を$5$個並べた列$10110$をある人が繰り返し書き写すとする。ただし、この列を$S$で表し、これの第$1$回目の写しを$S_1$で表すとき、第$2$回目に書き写すときに$S_1$を書き写す。$S_1$の写しを$S_2$とするとき、第$3$回目には$S_2$を書き写す。以下、同様に続ける。
この人が$0$を$1$に写しまちがえる確率は$p\ (0<p<1)$であり、$1$を$0$に写しまちがえる確率は$q\ (0<q<1)$であるが、それ以外の写しまちがえはないものとする。第$n$回目の写し$S_n$が$S$に一致する確率を$C(n)$とするとき、極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{C(n)}$を求めよ。

方針

各文字について個別に考えるのが良い。

解答

$10110$について、左から$1, 3, 4$番目の数字が第$n$回目の書き写し後に$1$である確率を$p_n$とする。$p_0 = 1$であり、第$1$回目の書き写し後、数字が$1$である確率は第$1$回目でまちがえない確率であるから、$p_1 = 1-q$である。第$n+1$回目の書き写しの後、数字が$1$である確率は第$n$回目の写しの後の数字が$1$で、それを写しまちがえないときと、第$n$回目の写しの後の数字が$0$で、それを$1$に写しまちがえるときがある。したがって、$$p_{n+1} = (1-q)p_n+p(1-p_n)$$である。変形して、$$p_{n+1}-\frac{p}{p+q} = (1-p-q)\left(p_n-\frac{p}{p+q}\right)$$となるから、$$p_n-\frac{p}{p+q} = (1-p-q)^{n-1}\left(1-q-\frac{p}{p+q}\right)$$である。よって、$$p_n = \frac{p+q(1-p-q)^n}{p+q} \tag{a}$$となる$(n=0, 1, 2, \cdots)$。これは$1-p-q=0$のときも成り立つ。

同様に、$10110$について、左から$2, 5$番目の数字が第$n$回目の書き写しの後に$0$である確率を$q_n$とする。$q_0 = 1$であり、第$1$回目の書き写し後、数字が$0$である確率は第$1$回目で写しまちがえない確率であるから、$q_1 = 1-p$である。第$n+1$回目の書き写しの後、数字が$0$である確率は第$n$回目の写しの後の数字が$0$で、それを写しまちがえないときと、第$n$回目の写しの後の数字が$1$で、それを$0$に写しまちがえるときがある。したがって、$$q_{n+1} = (1-p)q_n + q(1-q_n)$$である。変形して、$$q_{n+1} -\frac{q}{p+q} = (1-p-q)\left(q_n-\frac{q}{p+q}\right)$$となるから、$$q_n-\frac{q}{p+q}=(1-p-q)\left(q_n-\frac{q}{p+q}\right)$$である。よって、$$q_n = \frac{q+p(1-p-q)^n}{p+q} \tag{b}$$となる$(n=0, 1, 2, \cdots)$。これは$1-p-q = 0$のときも成り立つ。

$C(n) = {p_n}^3{q_n}^2$である。今、$0<p<1, 0<q<1$から、$-1 < 1-p-q < 1$である。したがって、式$(a), (b)$から$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{p_n} = \frac{p}{p+q}, \lim_{n\to\infty}{q_n} = \frac{q}{p+q}$である（$1-p-q = 0$のときも成り立つ）。よって、$$\begin{eqnarray}\lim_{n\to\infty}{C(n)} & = & \lim_{n\to\infty}{{p_n}^3{q_n}^2}\\ & = & \lim_{n\to\infty}{{p_n}^3}\lim_{n\to\infty}{{q_n}^2}\\ & = & \frac{p^3}{(p+q)^3}\frac{q^2}{(p+q)^2}\\ & = & \underline{\frac{p^3q^2}{(p+q)^5}}\end{eqnarray}$$となる。

解説

数字を全体として考えるとかえって難しくなる。個々の数字に着目し、漸化式を立てる。漸化式はふたつ必要になるが、やることはどちらも同じである。極限を求めるという問われ方であるが、$C(n)$そのものを求めてしまった方が楽である。書き写しという言葉に一瞬ギョッとするが、冷静に考えることができればそれほど難しくはない。