[math]2022年京都大学理系数学問題4

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問題

四面体$OABC$が$$OA = 4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt{3}$$を満たしているとする。$P$を辺$BC$上の点とし、$\triangle{OAP}$の重心を$G$とする。このとき、以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $\overrightarrow{PG} \perp \overrightarrow{OA} $を示せ。
$(2)$ $P$が辺$BC$上を動くとき、$PG$の最小値を求めよ。

方針

ベクトルの問題として標準的である。$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$や$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$はすぐに分かる。

解答

$(1)$

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}\ \ (0<t<1) $とすると、$\displaystyle \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}}{3}$だから、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{PG} & = &\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OP}\\ & = & \frac{\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OP}}{3} \\ & = & \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} – \frac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{OB} – \frac{2t}{3}\overrightarrow{OC} \tag{a} \end{eqnarray}$$である。今、$\triangle{OAB}$において$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}$であるから、変形して$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{AB}$である。

両辺の絶対値をとってから二乗すると、$$\mid\overrightarrow{OA}\mid^2 + 2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BO} + \mid\overrightarrow{OB}\mid^2 = \mid\overrightarrow{AB}\mid^2$$である。$OA = 4, OB = 3, AB = 3$を代入すると、$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = 8$がわかる。同様に$\triangle{OAC}$で$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$であるから、変形して$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{AC}$である。両辺の絶対値をとってから二乗すると、$\mid \overrightarrow{OA}\mid^2 + 2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{CO} + \mid\overrightarrow{OC} \mid^2 = \mid \overrightarrow{AC}\mid^2$である。$OA = 4, OC = 2\sqrt{3}, AC = 2\sqrt{3}$を代入すると、$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} = 8$がわかる。式$(a)$の両辺に$\overrightarrow{OA}$を掛けると、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{PG}\cdot \overrightarrow{OA} & = & \frac{1}{3}\mid \overrightarrow{OA}\mid^2 -\frac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} -\frac{2t}{3}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}\\ & = & \frac{16}{3}-\frac{16(1-t)}{3}-\frac{16t}{3}\\ & = & 0\end{eqnarray}$$である。したがって、$\overrightarrow{PG}$と$\overrightarrow{OA}$は垂直である。

$(2)$ $\triangle{OBC}$において$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{0}$であるから、変形して$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{BC}$である。両辺の絶対値をとってから二乗すると、$\mid\overrightarrow{OB}\mid^2 + 2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{CO}+\mid\overrightarrow{OC}\mid^2 = \mid\overrightarrow{BC}\mid^2$である。$OB = 3, OC = 2\sqrt{3}, BC = 3$を代入すると、$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC} = 6$がわかる。式$(a)$から、$$\begin{eqnarray}9\mid\overrightarrow{PG}\mid^2 & = & {\mid\overrightarrow{OA}\mid^2} + 4(1-t)^2\mid\overrightarrow{OB}\mid^2 + 4t^2\mid\overrightarrow{OC}\mid^2-4(1-t)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} +8t(1-t)\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-4t\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}\\ & = & 16 + 36(1-t)^2+48t^2-32(1-t)+48t(1-t)-32t\\ & = & 4(9t^2-4t+5)\\ & = &4\left(9\left(t-\frac{1}{3}\right)^2+4\right) \end{eqnarray}$$となるから、$\overrightarrow{PG}$は$\displaystyle t = \frac{1}{3}$のときに最小値$\displaystyle \underline{\frac{4}{3}}$を取る。