[math]2022年東京工業大学数学問題2

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問題

$3$つの正の整数$a, b, c$の最大公約数が$1$であるとき、次の問いに答えよ。
$(1)$ $a+b+c, bc + ca + ab, abc$の最大公約数は$1$であることを示せ。
$(2)$ $a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3$の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ。

方針

$(1)$ 解と係数の関係を用いる。

$(2)$ $a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3$を$a, b, c$の基本対称式で表す。

解答

$(1)$ $$\begin{cases}a+b+c = p\\ bc+ca+ab = q\\ abc = r\end{cases}$$とする。$a, b, c$は$3$次方程式$t^3-pt^2+qt-r = 0$の解であるから、$a^3-pa^2+qa-r = 0$である。変形して、$$a^3 = pa^2-qa+r $$となる。$p, q, r$の最大公約数を$g$とすると、$g$は$a^3$の約数である。同様に、$$\begin{eqnarray}b^3 & = & pb^2-qb + r \\ c^3 & = & pc^2-qc+r\end{eqnarray}$$であるから、$g$は$b^3, c^3$の約数でもある。$a, b, c $の最大公約数は$1$なので、共通の約数は$1$以外にない。したがって、$g = 1$であり、$a+b+c, bc+ca+ab, abc$の最大公約数は$1$になる。

$(2)$ $(1)$の記号を用いる。$a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3$の最大公約数を$g^{\prime}$とする。$$\begin{eqnarray}a+b+c & = & p \\ a^2+b^2+c^2 & = & (a+b+c)^2-2(bc+ca+ab)\\ & = & p^2-2q \\ a^3+b^3+c^3 & = & (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)+3abc \\ & = & (a+b+c)\left((a+b+c)^2-3(bc+ca+ab)\right)+3abc \\ & = & p(p^2-3q)+3r \\ & = & p^3-3pq+3r\end{eqnarray}$$である。したがって、$g^{\prime}$は$p, 2q, 3r$の最大公約数に等しく、$p, q, r$は互いに素であるから、$g^{\prime}$としてあり得るのは$1, 2, 3, 6$のみである。実際にこの値をとるか確かめると、$(a, b, c) = (1, 1, 3)$とすると、$$\begin{eqnarray}a+b+c = 5\\ a^2+b^2+c^2 = 11\\ a^3+b^3+c^3 = 29\end{eqnarray}$$で$g^{\prime} = 1$、$(a, b, c) = (1, 2, 3)$とすると、$$\begin{eqnarray}a+b+c = 6\\ a^2+b^2+c^2 = 14\\ a^3+b^3+c^3 = 36\end{eqnarray}$$で$g^{\prime} = 2$、$(a, b, c) = (1, 1, 1)$とすると、$$\begin{eqnarray}a+b+c = 3\\ a^2+b^2+c^2 = 3\\ a^3+b^3+c^3 = 3\end{eqnarray}$$で$g^{\prime} = 3$、$(a, b, c) = (1, 1, 4)$とすると、$$\begin{eqnarray}a+b+c = 6\\ a^2+b^2+c^2 = 18\\ a^3+b^3+c^3 = 66\end{eqnarray}$$で$g^{\prime} = 6$であるから、存在は保証される。以上から、求める正の整数は$\underline{1, 2, 3, 6}$である。

解説

$a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3$を基本対称式で表すと、上の記号を用いて、$$\begin{eqnarray}a+b+c & = & p\\ a^2+b^2+c^2 & = & p^2-2q\\ a^3+b^3+c^3 & = & p^3-3pq+3r\end{eqnarray}$$となる。例えば$p^2-2q$について、これを$p$で割った余りは$-2q$となるから、Euclidの互除法から$a^2+b^2+c^2$と$a+b+c$の最大公約数は、$p$と$2q$の最大公約数と等しくなる。これから、$p, 2q, 3r$の最大公約数を考えればよいのだが、$p, q, r$の最大公約数は$(1)$から$1$となるので、$2\times 3 = 6 $の約数を考えれば良い。この後、$a, b, c$を$6$で割った余りで分類すると、$6^3 = 216$通りもの場合が生じてしまうので、$1$つ具体例を出せば用は済む。

今年度は、東京大学、京都大学、東京工業大学いずれでもEuclidの互除法を用いないと解答に困る問題が出題されている。互除法自体も証明できた方が良いだろう。