[math]2022年東京工業大学数学問題5

問題
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問題

$a$は$\displaystyle 0 < a \leq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、$\displaystyle f(x) = \frac{4}{3}\sin{\left(\frac{\pi}{4} + ax\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}-ax\right)}$とする。このとき、次の問いに答えよ。
$(1)$ 次の等式$(*)$を満たす$a$がただ$1$つ存在することを示せ。$$(*) \ \ \ \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 1$$
$(2)$ $0\leq b<c\leq 1$を満たす実数$b, c$について、不等式$$f(b)(c-b)\leq \int_{b}^{c}{f(x)dx}\leq f(c)(c-b)$$が成り立つことを示せ。
$(3)$ 次の試行を考える。
[試行] $n$個の数$1, 2, \cdots, n$を出目とする、あるルーレットを$k$回まわす。
この[試行]において、各$i = 1, 2, \cdots, n$について$i$が出た回数を$S_{n, k, i}$とし、$$(**)\ \ \lim_{k\to\infty}{\frac{S_{n, k, i}}{k}} = \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}{f(x)dx}$$が成り立つとする。このとき、$(1)$の等式$(*)$が成り立つことを示せ。
$(4)$ $(3)$の[試行]において出た数の平均値を$A_{n, k}$とし、$\displaystyle A_n = \lim_{k\to\infty}{A_{n, k}}$とする。$(**)$が成り立つとき、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\frac{A_n}{n}}$を$a$を用いて表わせ。

方針

$(1)$から難しい。

$(2)$は積分の平均値の定理そのものである。

$(3)$ $S_{n, k, i}$について、$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{S_{n, k, i}} = k$となることを利用する。

$(4)$ 定義から$\displaystyle \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}{iS_{n, k, i}} = A_{n, k}$である。

解答

$(1)$ $\displaystyle \sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}(\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)})$であるから、$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{1}{f(x)dx} & = & \frac{2}{3}\int_{0}^{1}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{4}+ax+\frac{\pi}{4}-ax\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}+ax-\frac{\pi}{4}+ax\right)}\right)dx} \\ & = & \frac{2}{3}\int_{0}^{1}{\left(1+\sin{2ax}\right)dx} \\ & = & \frac{2}{3}\left[x-\frac{\cos{2ax}}{2a}\right]_{0}^{1}\\ & = & \frac{2}{3}\left(1-\frac{\cos{2a}-1}{2a}\right)\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle g(a) = \frac{2}{3}\left(1-\frac{\cos{2a}-1}{2a}\right)$とすると、$$\begin{eqnarray}g(a) & = & 1 \\ \iff a & = & 1-\cos{2a} \\ \iff a & = & 2\sin^2{a}\end{eqnarray}$$である。したがって$\displaystyle 0 < a \leq \frac{\pi}{4} $で$g(a) = a-2\sin^2{a}$として、これがただ一つの実数解を持つことを示す。$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(a) & = & 1-4\sin{a}\cos{a} \\ & = & 1-2\sin{2a}\end{eqnarray}$$であるから、$g(a)$の増減は以下の表のようになる。

$a$	0		$\displaystyle \frac{\pi}{12}$		$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$g^{\prime}(a)$		$+$	$0$	$-$
$g(a)$	$0$	$\nearrow$	$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{12}\right)$	$\searrow$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}-1$

$f(a)$の増減表。

$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{12}\right) > 0, g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi-4}{4} < 0$であるから、$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a < \frac{\pi}{4}$の範囲に$g(a) = 0$となる$a$がただ一つ存在する。よって、題意が示された。

$(2)$ $(1)$から$f(x)$は$\displaystyle f(x) = \frac{2}{3}(1+\sin{2ax})$であるから、$\displaystyle 0 < a\leq \frac{\pi}{4}, 0\leq x\leq 1$において正で、増加である。したがって、$\displaystyle f(b)\leq f(x) \leq f(c)$である。これを$b$から$c$まで積分して、$$f(b)(b-c)\leq \int_{b}^{c}{f(x)dx}\leq f(c)(b-c)$$となる。

$(3)$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{S_{n, k, i}} = k$であるから、$$\begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{n}{\frac{S_{n, k, i}}{k}} & = & 1\end{eqnarray}$$であり、$(**)$から$$\begin{eqnarray}\lim_{k\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{S_{n, k, i}}{k}}} & = & {\sum_{k=1}^{n}{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}{f(x)dx}}}\\ & = &{\int_{0}^{1}{f(x)dx}}\end{eqnarray}$$であるから、$$\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 1$$となり、$(*)$が成り立つ。

$(4)$ 定義から、$\displaystyle \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}{iS_{n, k, i}} = A_{n, k}$となる。$k\to\infty$として、$(3)$から$$A_n = \sum_{i=1}^{n}{i\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}{f(x)dx}}$$となる。$(2)$で$\displaystyle b = \frac{i-1}{n}, c = \frac{i}{n}$として、$$\frac{1}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)\leq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}{f(x)dx}\leq \frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$$であるから、両辺に$i$を掛けて$$\frac{i}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)\leq i\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}{f(x)dx}\leq \frac{i}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$$である。$i = 1, 2, \cdots, n$として辺ごとに足して、$n$で割ると、$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)}\leq \frac{A_n}{n}\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)}$$である。最左辺と最右辺は$n\to\infty$のときに共に$\displaystyle \int_{0}^{1}{xf(x)dx}$に収束する。よって、求める極限値は$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{1}{xf(x)dx} & = & \frac{2}{3}\int_{0}^{1}{x(1+\sin{2ax})dx}\\ & = & \left[\frac{x^2}{3}\right]_{0}^{1}+\frac{2}{3}\int_{0}^{1}{x\cdot \left(-\frac{\cos{2ax}}{2a}\right)^{\prime}dx} \\ & = & \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left[\frac{x\cos{2ax}}{2a}\right]_{0}^{1} + \frac{2}{3}\int_{0}^{1}{\frac{\cos{2ax}}{2a}dx}\\ & = & \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\cdot \frac{\cos{2a}}{2a}+\frac{2}{3}\left[\frac{\sin{2a}}{4a^2}\right]_{0}^{1} \\ & = & \underline{\frac{1}{3}-\frac{\cos{2a}}{3a}+\frac{\sin{2a}}{6a^2}}\end{eqnarray}$$となる。

解説

確率密度関数を題材にした微積分の計算問題になる。振り返ってみると大した問題ではないのだが、一つ一つやることがそれなりに重厚で、試験場では圧倒されてしまうだろう。$(3)$は$S_{n, k, i}$が分からなくても、$(**)$右辺の$f(x)$についての計算を行うと、題意を示すことができる。

\(a\)	0		\(\displaystyle \frac{\pi}{12}\)		\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
\(g^{\prime}(a)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(a)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle g\left(\frac{\pi}{12}\right)\)	\(\searrow\)	\(\displaystyle \frac{\pi}{4}-1\)

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