[math]2009年東京医科歯科大学前期数学問題3

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問題

関数$f(x) = \sin{2x} + a\cos{x}$について、以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $f(x)$が区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$の相異なる$2$点で極値を持つような、$a$の値の範囲を求めよ。
$(2)$ $a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき、$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\mid f(x)\mid dx}$を$a$を用いて表わせ。
$(3)$ $a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき、$f(x)$が極値を取る$x$の値を$\alpha, \beta$（ただし$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$）とする。$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{\mid f(x)\mid dx}$を$a$を用いて表わせ。

方針

問題自体は難しくないが、工夫して計算しないとミスが起こる。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & 2\cos{2x}-a\sin{x}\\ & = & -2(1-\sin^2{x})-a\sin{x}\\ & = & -(4\sin^2{x} + a\sin{x} -2)\end{eqnarray}$$である。$\sin{x} = t$と置くと、$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$であるから$-1 < t < 1$であり、$t$と$\sin{x}$は一対一に対応する。したがって、$g(t) = 4t^2+at-2$として、$g(t) = 0$が区間$-1<t<1$の相異なる$2$点で解を持つような$a$の条件を求めれば良い。$D = a^2+32 > 0$であるから、$g(t) = 0$は相異なる実数解を持つ。解が$-1<t<1$に含まれるには$$\begin{cases}g(1) = a+2 > 0\\ g(-1) = -a+2 > 0\\ y = g(t)の軸x = \displaystyle -\frac{a}{8}に関して\displaystyle -1 < -\frac{a}{8} < 1\end{cases}$$であれば良い。これらを解くと、$\underline{-2<a<2}$となる。

$(2)$ $y = f(x)$のグラフの概形は下の図のようになる。

$y = f(x)$の概形。$\alpha$は極小値、$\beta$は極大値を取る点で、$\gamma$は$f(x) = 0$となる点である。

ただし、図で$x = \alpha, \beta, \gamma$はそれぞれ区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$において、$$\begin{cases}f^{\prime}(\alpha) = 0 \\ f^{\prime}(\beta) = 0 \\ \alpha < \beta \\ f(\gamma) = 0\end{cases}$$を満たす点である。$f(x) = \cos{x}(2\sin{a}+a)$より、$2\sin{\gamma} + a = 0$である。$$F(x) = \int{f(x)dx} = -\frac{\cos{2x}}{2} + a\sin{x}$$と置くと、$$\begin{cases}\displaystyle F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}-\alpha\\ \displaystyle F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+\alpha\end{cases}$$であり、さらに$$\begin{eqnarray}F(\gamma) & = & -\frac{\cos{2\gamma}}{2}+a\sin{\gamma}\\ & = & -\frac{1}{2}(1-2\sin^2{\gamma})+a\sin{\gamma}\\ & = & -\frac{1}{2}+\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{a}{2}\right)\\ & = & -\frac{1}{2}+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{a}\\ & = & -\frac{a^2}{4}-\frac{1}{2}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$\begin{eqnarray}\int_{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}{\mid f(x)\mid dx} & = & \int_{-\frac{\pi}{2}}{-f(x)dx}+\int_{\gamma}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx}\\ & = & [-F(x)]_{-\frac{\pi}{2}}^{\gamma} + [F(x)]_{\gamma}^{\frac{\pi}{2}}\\ & = & F\left(-\frac{\pi}{2}\right) + F\left(\frac{\pi}{2}\right)-2F(\gamma)\\ & = & \frac{1}{2}-\alpha+\frac{1}{2}+\alpha-2\left(-\frac{a^2}{4}-\frac{1}{2}\right)\\ & = & \underline{\frac{a^2}{2}+2}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ $$\begin{eqnarray}\int_{\alpha}^{\beta}{\mid f(x)\mid dx} & = & \int_{\alpha}^{\gamma}{-f(x)dx} + \int_{\gamma}^{\beta}{f(x)dx}\\ & = & F(\alpha) + F(\beta) -2F(\gamma) \end{eqnarray}$$となる。$(1)$の過程から、$\sin{\alpha}$と$\sin{\beta}$は$g(t) = 0$の解であるから、解と係数の関係より、$$\begin{cases}\sin{\alpha}+\sin{\beta} = \displaystyle -\frac{a}{4}\\ \sin{\alpha}\sin{\beta} = \displaystyle -\frac{1}{2}\end{cases}$$である。$(2)$の$F(\gamma)$の計算から、$\displaystyle F(x) = \sin^2{x} + a\sin{x}-\frac{1}{2}$であるから、$$\begin{eqnarray}F(\alpha)+F(\beta)-2F(\gamma) & = & \sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}+a(\sin{\alpha}+\sin{\beta})-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-2\left(-\frac{a^2}{4}-\frac{1}{2}\right)\\ & = & (\sin{\alpha}+\sin{\beta})^2-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+a(\sin{\alpha}+\sin{\beta})-1+\frac{a^2}{2}+1\\ & = & \left(-\frac{a}{4}\right)^2 -2\left(-\frac{1}{2}\right)+a\left(-\frac{a}{4}\right)+\frac{a^2}{2}\\ & = & \underline{\frac{5}{16}a^2+1}\end{eqnarray}$$となる。