[math]2022年東京工業大学数学問題1

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問題

$a, b$を実数とし、$f(z) = z^2+az+b$とする。$a, b$が$$\mid a\mid \leq 1, \mid b\mid \leq 1$$を満たしながら動くとき、$f(z) = 0$を満たす複素数$z$がとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ。

方針

$D = a^2-4b$の正負で場合分けする。

解答

$D = a^2-4b$とする。
$(i)$ $D >0$のとき、$\displaystyle b <\frac{a^2}{4}$であり、$f(z) = 0$は実数解を有する。実数解は$\displaystyle z = \frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$となる。$\displaystyle f(a, b) = \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}, g(a, b) = \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$とする。$\displaystyle -1\leq a\leq 1, -1\leq b < \frac{a^2}{4} \leq 1$の範囲で$f(a, b), g(a, b)$の取りうる範囲を求める。$$\begin{eqnarray}\frac{df(a, b)}{db} & = & -\frac{2}{\sqrt{{a^2-4b}}} < 0\\ \frac{dg(a, b)}{db} & = & \frac{2}{\sqrt{a^2-4b}} > 0\end{eqnarray}$$だから、$f(a, b)$は$b$に関して減少で、$g(a, b)$は$b$に関して増加である。したがって、$$\begin{eqnarray}f\left(a, \frac{a^2}{4}\right)\leq f(a, b)\leq f\left(a, -1\right)\\ g(a, -1)\leq g(a, b)\leq g\left(a, \frac{a^2}{4}\right)\end{eqnarray}$$であり、計算すると$$\begin{eqnarray}-\frac{a}{2}\leq f(a, b)\leq \frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}\\ \frac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}\leq g(a, b)\leq -\frac{a}{2}\end{eqnarray}$$となる。$$\begin{eqnarray}\frac{d}{da}\left(\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}\right) & = & \frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2\sqrt{a^2+4}} < 0 \\ \frac{d}{da}\left(\frac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}\right) & = & -\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2\sqrt{a^2+4}} < 0\end{eqnarray}$$であり、$ab$平面に$\displaystyle b = -\frac{a}{2}, b = \frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}, b = \frac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}$を図示すると下の図のようになる。

上図の実線の斜線部が$f(a, b)$、破線の斜線部が$g(a, b)$の動きうる領域である。

したがって、$$\begin{eqnarray}-\frac{1}{2}\leq f(a, b)\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\leq g(a, b)\leq \frac{1}{2}\end{eqnarray} \tag{a}$$となる。
$(ii)$ $D < 0$のとき、$\displaystyle b > \frac{a^2}{4}$であり、$f(z) = 0$は虚数解を有する。解を$x\pm yi$とすると、$\displaystyle x = \frac{-a}{2}, y = \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$である。$\displaystyle -1\leq b \leq 1, -1\leq a\leq 1$かつ$\displaystyle b > \frac{a^2}{4}$であるから、$\displaystyle -1\leq a\leq 1, \frac{a^2}{4}<b\leq 1$となる。$a, b$を$x, y$で表すと、$a = -2x, 4b=a^2+4y^2 = 4x^2+4y^2 $である。これを$\displaystyle -1\leq a\leq 1, \frac{a^2}{4} <b\leq 1$に代入して、$$\begin{cases}-1\leq -2x\leq 1\\\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 4x^2 <x^2+y^2\leq 1\end{cases}$$である。整理して、$$\begin{cases}\displaystyle -\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\\ x^2+y^2\leq 1\end{cases} \tag{b}$$となる。
$(iii)$ $D = 0$のとき、$a^2-4b = 0$で、$\displaystyle z = -\frac{a}{2}$だから、$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq z\leq \frac{1}{2} \tag{c}$となる。

以上$(a), (b), (c)$を図示すると、以下の図のようになる。

境界はすべて含み、実軸は$\displaystyle -\frac{1+\sqrt{5}}{2}$から$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$までを動く。

解説

判別式$D$の値で場合分けを行うが、解が実数のときの方が難しい。$a, b$どちらかを固定して最小値、最大値を求めるが、簡単な方から動かしていくのが鉄則で、一文字の$b$を先に動かす。$D$が負で、虚数解を持つときは、解が存在する条件を求めてもよいが、$x, y$が簡単に$a, b$で表されるので、代入してしまえば良い。