[math]2022年東京工業大学数学問題3

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問題

$\alpha$は$\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする。$\angle{A} = \alpha$および$\displaystyle \angle{P} = \frac{\pi}{2}$を満たす直角三角形$APB$が、次の$2$つの条件$(a), (b)$を満たしながら、時刻$t = 0$から時刻$\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$まで$xy$平面上を動くとする。
$(a)$ 時刻$t$での点$A, B$の座標は、それぞれ$A (\sin{t}, 0), B(0,\ \cos{t})$である。
$(b)$ 点$P$は第一象限内にある。
このとき、次の問いに答えよ。
$(1)$ 点$P$はある直線上を動くことを示し、その直線の方程式を$\alpha$を用いて表わせ。
$(2)$ 時刻$t = 0$から時刻$\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$までの間に点$P$が動く道のりを$\alpha$を用いて表わせ。
$(3)$ $xy$平面内において、連立不等式$$x^2-x +y^2 < 0, x^2+y^2-y < 0$$により定まる領域を$D$とする。このとき、点$P$は領域$D$には入らないことを示せ。

方針

座標のまま解いても良いし、図形的に考察するのも良い。定型的でなく、難しい問題だと思う。

解答

$(1)$ $AB$の長さは$\sin^2{t} + \cos^2{t} = 1$である。$\displaystyle \angle{APB} = \frac{\pi}{2}$であるから、三角形$APB$は$AB$を直径とする円に内接する。したがって、$\angle{PAB} = \angle{POB}$であり、$\angle{POx}$の角度は$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha$となる。よって、$P$は$\displaystyle y = \tan{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}x = \underline{\frac{x}{\tan{\alpha}}}$上にある。

$(2)$ $\displaystyle \angle{BAO} = \frac{\pi}{2}-t$となるから、$\angle{OAP} = \frac{\pi}{2}-t+\alpha$である。図の点線の円の直径は$AB = 1$であることに注意すると、三角形$OAP$に正弦定理を適応して、$$1 = \frac{OP}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-t+\alpha\right)}}$$である。整理して、$\displaystyle OP = \cos{(t-\alpha)}$となる。$t$が$0$から$\alpha$まで動く間に$\cos{\alpha}$から$1$まで増加し、$t$が$\alpha$から$\displaystyle \frac{\pi}{2}$まで動く間、$1$から$\sin{\alpha}$まで減少する。動く道のりとしては$(1-\cos{\alpha}) + (1-\sin{\alpha}) = \underline{2-\cos{\alpha}-\sin{\alpha}}$となる。

$(3)$ $(2)$を利用する。
$(i)$ $\displaystyle 0 <\alpha\leq \frac{\pi}{4}$のとき、$OP$と円$x^2-x+y^2 = 0$の交わる点を$Q$とすると、下の図から$\displaystyle OQ = \cos{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} = \sin{\alpha}$となる。$\displaystyle 0\leq t\leq \frac{\pi}{2}$のとき、$OP \geq min(\cos{\alpha}, \sin{\alpha})$であるから、$OQ\leq OP$となり、$P$は$D$の外にある。

$2$つの円の共通部分が$D$となる。$\displaystyle 0<\alpha < \frac{\pi}{4}$のとき。

$(ii)$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2}$のとき、$OP$と円$x^2+y^2-y = 0$の交わる点を$R$とすると、下の図から$\displaystyle OR = \cos{\alpha}$となる。$\displaystyle 0\leq t\leq \frac{\pi}{2}$のとき、$OP \geq min(\cos{\alpha},\sin{\alpha})$であるから、$OR\leq OP$となり、$P$は$D$の外にある。