[math]2008年東京医科歯科大学前期数学問題2

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問題

以下の各問いに答えよ。ただし$t$は$0 < t < \pi$を満たす実数とする。
$(1)$ 次の等式を証明せよ。$$\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)\left(\cos{\frac{t}{4}}\right)\left(\cos{\frac{t}{8}}\right) = \frac{\sin{t}}{8\sin{\frac{t}{8}}}$$
$(2)$ 次のように定義される数列$\{a_n\}$の極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_n}$を$t$を用いて表わせ。$$a_1 = \cos{\frac{t}{2}}, \ \ a_n = a_{n-1}\left(\cos{\frac{t}{2^n}}\right)\ \ (n = 2, 3, \cdots, )$$
$(3)$ 数列$\{b_n\}, \{c_n\}$を次のように定義する。$$\begin{eqnarray}b_1 & = & \sqrt{\frac{1}{2}}, \ \ b_n = \sqrt{\frac{1+b_{n-1}}{2}}\ \ (n = 2,\ 3,\ \cdots)\\ c_1 & = & \sqrt{\frac{1}{2}}, \ \ c_n = c_{n-1}b_n\ \ (n = 2,\ 3,\ \cdots)\end{eqnarray}$$このとき$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{c_n}$を求めよ。

方針

誘導に従う。どこかで経験のあった受験生には易しく感じただろう。

解答

$(1)$ 二倍角の公式から、$$\begin{eqnarray}\sin{t} & = & 2\sin{\frac{t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}\\ & = & 4\sin{\frac{t}{4}}\cos{\frac{t}{4}}\cos{\frac{t}{2}}\\ & = & 8\sin{\frac{t}{8}}\cos{\frac{t}{8}}\cos{\frac{t}{4}}\cos{\frac{t}{2}}\end{eqnarray}$$である。$0 < t < \pi$から$\displaystyle \sin{\frac{t}{8}}\ne 0$であるから、両辺を$\displaystyle \sin{\frac{t}{8}}$で割って$$\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)\left(\cos{\frac{t}{4}}\right)\left(\cos{\frac{t}{8}}\right) = \frac{\sin{t}}{8\sin{\frac{t}{8}}}$$となる。

$(2)$ $(1)$と同様に、二倍角の公式を繰り返し使って、$$\sin{t} = 2^n\sin{\frac{t}{2^n}}\left(\cos{\frac{t}{2^n}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2^{n-1}}}\right)\cdots \left(\cos{\frac{t}{4}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)$$である。$0 < t < \pi$から$\displaystyle \sin{\frac{t}{2^n}} \ne 0$であるから、両辺を$\displaystyle \sin{\frac{t}{2^n}}$で割って、$$\frac{\sin{t}}{2^n\sin{\frac{t}{2^n}}} = \left(\cos{\frac{t}{2^n}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2^{n-1}}}\right)\cdots \left(\cos{\frac{t}{4}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)$$である。与えられた漸化式より、$$a_n = \left(\cos{\frac{t}{2^n}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2^{n-1}}}\right)\cdots \left(\cos{\frac{t}{4}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)$$であるから、$$a_n = \frac{\sin{t}}{2^n\sin{\frac{t}{2^n}}}\ \ (n = 1,\ 2,\ \cdots)$$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}a_n & = & \frac{\sin{t}}{2^n\sin{\frac{t}{2^n}}}\\ & = & \frac{\sin{t}}{t}\cdot \frac{\frac{t}{2^n}}{\sin{\frac{t}{2^n}}}\end{eqnarray}$$となり、$n\to\infty$のとき$\displaystyle \frac{t}{2^n}\to 0$であるから、$$\begin{eqnarray}\lim_{n\to\infty}{a_n} & = & \frac{\sin{t}}{t}\cdot 1\\ & = & \underline{\frac{\sin{t}}{t}}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ $\displaystyle b_n = \cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$であることを数学的帰納法で示す。$n = 1$のとき$\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2^{1+1}}} = \cos{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = b_1$で正しい。$n = k$でこの仮定が正しいとする。簡単のため$\displaystyle \frac{\pi}{2^{n+1}} = \theta$とする。$$\begin{eqnarray}b_{k+1} & = & \sqrt{\frac{1+b_{k}}{2}} \\ & = & \sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}} \\ & = & \sqrt{\cos^2{\frac{\theta}{2}}}\\ & = & \cos{\frac{\theta}{2}}\ \ \left(0 < \theta = \frac{\pi}{2^{n+1}} < \frac{\pi}{2}\right)\\ & = & \cos{\frac{\pi}{2^{k+2}}}\end{eqnarray}$$で$n = k+1$でも正しい。よって、$\displaystyle b_n = \cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$となる。すると、$$\begin{eqnarray}c_1 = \sqrt{\frac{1}{2}}, \ \ c_n = c_{n-1}\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}\end{eqnarray}$$であるから、$c_n$は$(2)$の$t$で$\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$としたものに他ならない。$(2)$から$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_n} = \frac{\sin{t}}{t}$であったから、$\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$として、$\displaystyle \underline{\lim_{n\to\infty}{c_n} = \frac{2}{\pi}}$である。

解説

$(1)$ 二倍角の公式を用いる。

$(2)$ $(1)$が親切な誘導になっている。$$\sin{t} = 2^n\sin{\frac{t}{2^n}}\left(\cos{\frac{t}{2^n}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2^{n-1}}}\right)\cdots \left(\cos{\frac{t}{4}}\right)\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)$$を示すところでは帰納法でも良いが、解答程度での説明でも十分だろう。

$(3)$ 少し考えると$(1), (2)$が利用できることに気がつく。