[math]2022年東京大学理系数学問題3

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問題

$O$を原点とする座標平面上で考える。座標平面上の$2$点$S(x_1, y_1), T(x_2, y_2)$に対し、点$S$が点$T$から十分離れているとは、$$\mid x_1-x_2 \mid \geq 1 または \mid y_1-y_2 \mid \geq 1$$が成り立つことと定義する。
不等式$$0\leq x\leq 3, 0\leq y\leq 3$$が表す正方形の領域を$D$とし、その$2$つの頂点$A(3, 0), B(3, 3)$を考える。さらに、次の条件$(i), (ii)$をともに満たす点$P$をとる。
$ \ \ \ \ $ $(i)$ 点$P$は領域$D$の点であり、かつ、放物線$y = x^2$上にある。
$ \ \ \ \ $ $(ii)$ 点$P$は、$3$点$O, A, B$のいずれからも十分離れている。
点$P$の$x$座標を$a$とする。
$(1)$ $a$のとりうる値の範囲を求めよ。
$(2)$ 次の条件$(iii), (iv)$をともに満たす点$Q$が存在しうる範囲の面積を求めよ。
$ \ \ \ \ $ $(iii)$ 点$Q$は領域$D$の点である。
$ \ \ \ \ $ $(iv)$点$Q$は、$4$点$O, A, B, P$のいずれからも十分離れている。
$(3)$ $a$は$(1)$で求めた範囲を動くとする。$(2)$の$f(a)$を最小にする$a$の値を求めよ。

方針

問題文は長いがそれほど難しいわけではない。$(2)$では場合分けが生じる。

解答

点$S$と点$T$が十分離れているとき、$S$を中心とする一辺が$2$の正方形の外部に$T$はある。

$(1)$ 図から、$\underline{1\leq a\leq \sqrt{3}}$であることがわかる。

$(2)$ $1\leq a\leq \sqrt{2}$のとき、下の図から、$$\begin{eqnarray}f(a) & = & 2(a-1)+(3-a)(2-a^2)+2-a+a^2-1 \\ & = & a^3-2a^2-a+5\end{eqnarray}$$となる。

$2\leq a\leq \sqrt{3}$のとき、下の図から$$\begin{eqnarray}f(a) & = & 2(a-1)+2(a^2-2)+2-a+1\\ & = & 2a^2+a-3\end{eqnarray}$$となる。まとめると、$$\underline{f(a) = \begin{cases}a^3-2a^2-a+5\ \ (1\leq a\leq \sqrt{2})\\ 2a^2+a-3\ \ (\sqrt{2}\leq a\leq \sqrt{3})\end{cases}}$$となる。

$(3)$ $1\leq a\leq \sqrt{2}$のとき、$$f^{\prime}(a) = 3a^2-4a-1$$であり、$f^{\prime}(a) = 0$となるのは$\displaystyle a = \frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$である。したがって、$1\leq a\leq \sqrt{2}$の範囲で$f(a)$は非増加である。$\sqrt{2}\leq a\leq \sqrt{3}$のときもあわせて図示すると、$b = f(a)$の概形は下の図のようになる。よって、$f(a)$を最小にする$a$は$\underline{a = \sqrt{2}}$となる。