[math]1972年京都大学数学問題文理共通理系問題1文系問題1

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問題

$2$つまたは$3$つのベクトルの加法について、次の法則が成立する。$$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}, (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})$$いま、$n$個のベクトルを$\overrightarrow{A_1}, \overrightarrow{A_2}, \cdots, \overrightarrow{A_n}$とし、その順序を任意にかえたものを$\overrightarrow{B_1}, \overrightarrow{B_2}, \cdots, \overrightarrow{B_n}$とする。上の二つの法則だけを使って$$\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{A_2} + \cdots + \overrightarrow{A_n} = \overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2} + \cdots + \overrightarrow{B_n}$$が成り立つことを数学的帰納法で示せ。なお、例えば$4$つのベクトル$\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}, \overrightarrow{D}$について、その和$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}$は$((\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})+\overrightarrow{C} ) +\overrightarrow{D}$を意味するし、一般の場合も同様とする。

方針

解法が指定されているので、従う。

解答

$n = k$のときに題意が成り立っているものと仮定する。このとき、$A_1, A_2, \cdots, A_{k+1}$を任意に並べ替えた$\overrightarrow{B_1}, \overrightarrow{B_2}, \cdots, \overrightarrow{B_{k+1}}$に対して$$\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{A_2}+\cdots +\overrightarrow{A_{k+1}} = \overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2}+\cdots + \overrightarrow{B_{k+1}} \tag{a}$$が成り立つことを示せば良い。仮に$\overrightarrow{A_{k+1}} = \overrightarrow{B_{k+1}}$だったとすると、帰納法の仮定から$$\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2} + \cdots + \overrightarrow{A_k} = \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} + \cdots + \overrightarrow{B_k}$$であるので、式$(a)$は成立する。そこで、$\overrightarrow{A_{k+1}} \ne \overrightarrow{B_{k+1}}$のときについて考える。このとき$i \ne k+1$に対して$\overrightarrow{B_i} = \overrightarrow{A_{k+1}}$となるものが存在する。さて、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} + \cdots + \overrightarrow{B_i} + \overrightarrow{B_{i+1}} + \cdots + \overrightarrow{B_{k+1}} & = & ((\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_1}+\cdots ) + \overrightarrow{B_i}) + (\overrightarrow{B_{i+1}} + \cdots + \overrightarrow{B_{k+1}})\\ & = & (\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} + \cdots) + (\overrightarrow{B_i} + (\overrightarrow{B_{i+1}} +\cdots + \overrightarrow{B_{k+1}}))\\ & = & (\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} + \cdots) + ((\overrightarrow{B_{i+1}} + \cdots + \overrightarrow{B_{k+1}}) + \overrightarrow{B_i})\end{eqnarray}$$である。ここでは帰納法の仮定のみを用いていることに注意する。すなわち、ベクトル$(\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} + \cdots)$やベクトル$\overrightarrow{B_{i+1}} + \cdots + \overrightarrow{B_{k+1}}$もまた一つのベクトルであることに注意すると、帰納法の仮定を用いることができる。ここで、$\overrightarrow{B_i} = \overrightarrow{A_{k+1}}$であるから、前半と同様に式$(a)$が成り立つことがわかる。$n = 2$のときは式$(a)$は成り立つので、数学的帰納法によって題意が成立する。

解説

いかにも京大らしい変わった問題である。べクトルの和はそれ自体がべクトルなので慎重に式を変形していくと題意で与えられた仮定が上手く使えることに気がつく。この問題によってべクトルの和や差は普通の数と同じように計算できることが分かる。問題を良く読むと、べクトルの次元について指定されていない。つまり、$2$次元でも$3$次元でも和や差についてべクトルの計算が単純に行えるということである。べクトルは、今まで親しんできた普通の数の概念を拡張し、向きと大きさを持ったものとして定義された。このように、新しく定義されたものがいつもべクトルのように簡単に計算できる訳ではない。例えば、行列$A, B$に対して、一般に$AB \ne BA$であり、積について普通の数と同様に扱うことはできない。