[math]1990年東京工業大学後期数学問題1

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問題

$(x+1)(x-2)$の小数第$1$位を四捨五入したものが$1+5x$に等しくなるような実数$x$を求めよ。

方針

範囲を絞らなくてはいけない。例えば実数$x$の小数第$1$位を四捨五入して$5$になるとき、$4.5\leq x < 5.5$である。一般に、実数$x$の小数第$1$位を四捨五入して整数$m$になるとき、$\displaystyle m-\frac{1}{2}\leq x < m + \frac{1}{2}$である。

解答

$(x+1)(x-2)=x^2-x-2$を四捨五入したものが$1+5x$に等しいので、$$1+5x-\frac{1}{2}\leq x^2-x-2 < 1+5x+\frac{1}{2} \tag{a}$$である。両辺を$2$を掛けて整理すると、$$\begin{cases}2x^2-12x-5 \geq0 \\ 2x^2-12x-7 < 0\end{cases}$$である。つまり、$$\begin{cases}\displaystyle x \leq \frac{6-\sqrt{46}}{2}, \frac{6+\sqrt{46}}{2} \leq x\\ \displaystyle \frac{6-5\sqrt{2}}{2} < x < \frac{6+5\sqrt{2}}{2}\end{cases}$$であるから、$$\frac{6-5\sqrt{2}}{2} < x \leq \frac{6-\sqrt{46}}{2}, \frac{6+\sqrt{46}}{2}\leq x < \frac{6+5\sqrt{2}}{2}$$である。これを変形すると、$$\frac{32-25\sqrt{2}}{2} < 5x+1 \leq \frac{32-5\sqrt{46}}{2}, \frac{32+5\sqrt{46}}{2}\leq 5x+1 < \frac{32+25\sqrt{2}}{2} \tag{b}$$である。$\displaystyle 1.4 < \sqrt{2} < 1.5, 6 < \sqrt{46} < 7$であるから、$$-2.75 < 5x+1 < 1, 31 < 5x+1 < 34.75$$となる。$5x+1$は整数なので、$5x + 1 = -2, -1, 0, 32, 33, 34$である。このとき順に$\displaystyle x = -\frac{3}{5}, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{31}{5}, \frac{32}{5}, \frac{33}{5}$である。
$(i)$ $\displaystyle x = -\frac{3}{5}$のとき、$\displaystyle (x+1)(x-2) = -1.04$であり、四捨五入すると$-1$になり、$5x+1$と等しくならない。
$(ii)$ $\displaystyle x = -\frac{2}{5}$のとき、$\displaystyle (x+1)(x-2) = -1.44$であり、四捨五入すると$-1$になり、$5x+1$と等しい。
$(iii)$ $\displaystyle x = -\frac{1}{5}$のとき、$\displaystyle (x+1)(x-2) = -1.76\cdots$であり、四捨五入すると$-2$になり、$5x+1$と等しくならない。
$(iv)$ $\displaystyle x = \frac{31}{5}$のとき、$\displaystyle (x+1)(x-2) = 30.24\cdots$であり、四捨五入すると$30$になり、$5x+1$と等しくならない。
$(v)$ $\displaystyle x = \frac{32}{5}$のとき、$\displaystyle (x+1)(x-2) = 32.56$であり、四捨五入すると$33$になり、$5x+1$と等しい。
$(vi)$ $\displaystyle x = \frac{33}{5}$のとき、$\displaystyle (x+1)(x-2) = 34.95\cdots$であり、四捨五入すると$35$になり、$5x+1$と等しくならない。

以上から、求める実数$\displaystyle \underline{x = -\frac{2}{5}, \frac{32}{5}}$である。

解説

負の数の四捨五入については、絶対値で四捨五入すると定められている。例えば、$-1.5$を小数第$1$位で四捨五入するときは、$1.5$を四捨五入して$2$として、負の記号をつけて$-2$とする。ただし、この問題の場合、式$(a)$の$\leq$が$<$に変わるかどうかの違いなので、答えが違ってくることはない。下のwikipediaのリンクも参照のこと。

端数処理 - Wikipedia

式$(b)$が出た後は、$\sqrt{2}$や$\sqrt{46}$を数値評価する。

その他の考え方としては、$y = (x+1)(x-2)$と$y = 1+5x$のグラフを描き、$x$の範囲を絞っても良い。$y = (x+1)(x-2)$は二次式で、$y = 1+5x$は一次式なので、$\mid x\mid$が十分大きいときは$(x+1)(x-2) > 1+5x$である。このことから$x$の範囲を絞っても良い。