[math]1972年京都大学数学文理共通問題文系問題3理系問題4

2022.04.07

問題
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問題

三角形$ABC$の内部の一点$P$を頂点とする$1$つの平行四辺形を$PQRS$とする。$P$から$Q$に向かう半直線が三角形$ABC$の周を交わる点を$Q^{\prime}$とし、$R^{\prime}, S^{\prime}$も同様の点とする。$$\overrightarrow{PQ} = a\overrightarrow{PQ^{\prime}}, \overrightarrow{PR} = b\overrightarrow{PR^{\prime}}, \overrightarrow{PS} = c\overrightarrow{PS^{\prime}}$$とおくとき、$a+c\geq b$が成立することを示せ。ただし、$\overrightarrow{PQ}$などはベクトルを表す。

方針

難しく考えなければ意外にあっさり解けてしまう。

解答

$PQRS$は平行四辺形なので、$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PS}$である。ここに与えられた関係式を代入すると、$$a\overrightarrow{PQ^{\prime}} + c\overrightarrow{PS^{\prime}} = b\overrightarrow{PR^{\prime}}$$となる。よって、$$\overrightarrow{PR^{\prime}} = \frac{a}{b}\overrightarrow{PQ^{\prime}} = \frac{c}{b}\overrightarrow{PS^{\prime}}$$となる。下の図から、点$R^{\prime}$は三角形$PQ^{\prime}R^{\prime}$の周上または外部に存在することが分かる。よって、$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{b}\geq 1$となり、$a+c\geq b$が成り立つ。

直線$PR^{\prime}$は$\angle{Q^{\prime}PS^{\prime}}$の間にある。

解説

解答の図のように半直線$PQ^{\prime}$と$PS^{\prime}$が三角形$ABC$の異なる$2$つの辺と交わる場合と、一つの辺と交わる場合が考えらる。前者では点$R^{\prime}$は三角形$PQ^{\prime}S^{\prime}$の外部に、後者では辺上に存在することになる。後半の場合について余裕のあるものは是非図を書いてみると良い。