[math]2000年度東京工業大学前期数学問題4

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問題

$n$ は $2$ 以上の自然数とする。関数 $y = e^{x} \dots \dots （ア）, y = e^{n x} - 1 \dots \dots （イ）$ について以下の問に答えよ。
$(1)$ $（ア）$ と $（イ）$ のグラフは第 $1$ 象限においてただひとつの交点を持つことを示せ。
$(2)$ $(1)$ で得られた交点の座標を $(a_{n}, b_{n})$ としたとき $lim_{n \to \infty} a_{n}$ と $lim_{n \to \infty} n a_{n}$ を求めよ。
$(3)$ 第 $1$ 象限内での $（ア）$ と $（イ）$ のグラフおよび $y$ 軸で囲まれた部分の面積を $S_{n}$ とおく。このとき $lim_{n \to \infty} n S_{n}$ を求めよ。

方針

$lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ だと $n a_{n}$ の極限は発散するので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ なのだろう。

解答

$(1)$ $f (x) = e^{x} - e^{n x} + 1$ とする。 $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & e^{x} - n e^{n x} \\ = & n e^{x} (\frac{1}{n} - e^{(n - 1) x}) \end{array}$ である。したがって、 $f^{'} (x) = 0$ となるのは、 $\frac{1}{n} - e^{(n - 1) x} = 0$ 、すなわち $x = \frac{- \log n}{n - 1}$ のときである。この $x$ の値は負の値であるから、 $x > 0$ においては $f^{'} (x) < 0$ であることが分かる。これから、 $x > 0$ において $f (x)$ は減少する。 $f (0) = 1, lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ であるから、 $x > 0$ においてただひとつ $f (x) = 0$ を満たす $x$ が存在する。その $x$ を $α$ とすると、 $e^{α} > 0$ であるから、交点は第 $1$ 象限にある。よって、題意の通り $（ア）$ と $（イ）$ のグラフは第 $1$ 象限にただひとつの交点を持つ。

$(2)$ $\begin{array}{rcl} f (\frac{\log 3}{n}) & = & e^{\frac{\log 3}{n}} - e^{\log 3} + 1 \\ = & 3^{\frac{1}{n}} - 3 + 1 \\ = & 3^{\frac{1}{n}} - 2 \\ \leq & 3^{\frac{1}{2}} - 2 \\ = & \sqrt{3} - 2 \\ < & 0 \end{array}$ である。これと $(1)$ から $0 < a_{n} < \frac{\log 3}{n}$ であることがわかるので、はさみうちの原理から $\underset{―}{lim_{n \to \infty} a_{n} = 0}$ である。また、 $f (a_{n}) = e^{a_{n}} - e^{n a_{n}} + 1 = 0$ だから、 $\begin{array}{rcl} n a_{n} & = & \log (e^{a_{n}} + 1) \\ \to & \log (1 + 1) \\ = & \log 2 \end{array}$ となるから、 $\underset{―}{lim_{n \to \infty} n a_{n} = \log 2}$ となる。

$(3)$ 下の図から、 $\begin{array}{rcl} S_{n} & = & \int_{0}^{a_{n}} f (x) f x \\ = & \int_{0}^{a_{n}} (e^{a_{n}} - e^{n a_{n}} + 1) d x \\ = & {[e^{x} - \frac{e^{n x}}{n} + x]}_{0}^{a_{n}} \\ = & e^{a_{n}} - 1 - \frac{e^{n a_{n}} - 1}{n} + a_{n} \end{array}$ となる。これから、 $\begin{array}{rcl} n S_{n} & = & n (e^{a_{n}} - 1) - e^{n a_{n}} + 1 + n a_{n} \\ = & \frac{e^{a_{n}} - 1}{a_{n}} \cdot n a_{n} - e^{n a_{n}} + 1 + n a_{n} \\ \to & e_{∣ x = 0}^{'} \cdot \log 2 - e^{\log 2} + 1 + \log 2 (n \to \infty) \\ = & \log 2 - 2 + 1 + \log 2 \\ = & 2 \log 2 - 1 \end{array}$ となる。

解説

$(2)$ $(1)$ から $f (x)$ は単調に減少するので、 $f (x) < 0$ となる $x$ を見つけることができれば $a_{n}$ についての不等式を立てることができる。 $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ だと $n a_{n}$ の極限は求められないので、当然 $a_{n}$ の極限は $0$ になると予想して評価していく。