[math]2004年京都大学前期文系数学問題3

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2022.04.16

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問題

三角形$OAB$において、$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB}$とする。$$\mid \overrightarrow{a} \mid = 3, \mid \overrightarrow{b} \mid = 5, \cos{\angle{AOB}} = \frac{3}{5}$$とする。このとき、$\angle{AOB}$の$2$等分線と、$B$を中心とする半径$\sqrt{10}$の円との交点の、$O$を原点とする位置ベクトルを、$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$を用いて表わせ。

方針

円と直線の交わりなので、答えは$2$つ出てくる。

解答

$\angle{AOB}$の$2$等分線と$AB$との交点を$D$とすると、$AD: DB = OA:OB = 3:5$だから、$2$等分線上の点は$\displaystyle k\frac{5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{8}$と置ける。この点と点$B$との距離は、$\displaystyle \left| k\frac{5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{8}\right|$である。この値が$\sqrt{10}$であるような$k$の値を求める。$$\begin{eqnarray}\frac{5k\overrightarrow{a} + (3k-8)\overrightarrow{b}}{8}\left(\right)^2 & = & 10\\ 25k^2|\overrightarrow{a}|^2 + 10k(3k-8)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} + (3k-8)^2|\overrightarrow{b}|^2 & = & 640\end{eqnarray}$$である。ここに$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = 3, |\overrightarrow{b}| = 5, \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 3\cdot 5\cdot \frac{3}{5} = 9$を代入して整理すると、$$720k^2-1920k+960 = 0$$となる。更に整理すると$(3k-2)(k-2) = 0$となる。よって、$\displaystyle k = \frac{3}{2}, 2$で、この$k$に対応する点は順に$\displaystyle \underline{\frac{5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{12}, \frac{5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{4}}$となる。