[math]1973年京都大学文系数学問題4

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2022.04.18

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問題

$\mathbf{a, b, c}$は平面上の単位ベクトルで、どの二つも$120^\circ$の角をなすものとする。このとき、この平面上の任意のベクトル$\mathbf{x}$に対して、
$(1)$ $\mathbf{a}\cdot \mathbf{x}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{x} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0}$が成り立つことを示せ。
$(2)$ $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{x})^2 + (\mathbf{b}\cdot \mathbf{x})^2 + (\mathbf{c}\cdot \mathbf{x})^2$の値を$\mathbf{x}$の大きさ$l$を用いて表わせ。ただし、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{x}$などはベクトルの内積を表す。

方針

単位円に内接する正三角形の重心は原点になる。$(2)$では適当に計算しやすい座標に$\mathbf{a, b, c}$を設定してしまうと良い。

解答

$(1)$ ベクトル$\mathbf(a, b, c)$は平面上の単位ベクトルで、どの$2$つのなす角も$120^\circ$だから、ベクトル$\mathbf{a, b, c}$の表す平面上の点$A, B, C$は単位円に内接する正三角形である。重心は原点$O$になるから、$\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}$となる。よって、任意の平面上のベクトル$\mathbf{x}$に対して$\mathbf{a}\cdot \mathbf{x} + \mathbf{b}\cdot \mathbf{x} + \mathbf{c}\cdot \mathbf{x} = (\mathbf{a}+\mathbf{b} + \mathbf{c})\cdot \mathbf{x} = \mathbf{0}$となる。

$(2)$ 座標平面で考える。$\displaystyle A(1, 0), B\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$として一般性を失わない。また、$\mathbf{x} = (x, y)$と置く。このとき、$x^2+y^2=l^2$である。すると、$$\begin{eqnarray}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{x})^2+(\mathbf{b}\cdot\mathbf{x})^2+(\mathbf{c}\cdot\mathbf{x})^2 & = & x^2 + \left(-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2+\left(-\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\\ & = & \frac{3}{2}(x^2+y^2)\\ & = & \underline{\frac{3}{2}l^2}\end{eqnarray}$$となる。