[math]1976年京都大学文理共通問題文系問題2理系問題2

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問題

$1$つの平面内にある、いくつかの$0$でないベクトルからなる集合$S$が条件
“$\mathbf{a, b}$が$S$のベクトルであれば、$\displaystyle \frac{2(\mathbf{a, b})}{(\mathbf{b, b})}$は整数である”
をみたしているという。ただし、$(\mathbf{a, b})$等はベクトルの内積を表す。
$(1)$ $S$の$2$つのベクトルの間の角は、$0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$およびこれらの補角のうちの$1$つであることを示せ。
$(2)$ $(1)$において、角が$0^\circ, 30^\circ, 60^\circ$の場合には、$2$つのベクトルの長さの比はどうなるか。
$(3)$ $30^\circ$の角をなすベクトル$\mathbf{a, b}$を含み、$12$個のベクトルからなる集合$S$の例を図示し、各ベクトルを$\mathbf{a, b}$であらわせ。

方針

$\mathbf{a, b}$の対称性に着目する。つまり、$\displaystyle \frac{2(\mathbf{a, b})}{(\mathbf{b, b})}$および$\displaystyle \frac{2(\mathbf{b, a})}{(\mathbf{a, a})}$はどちらも整数であることを用いる。

解答

$(1)$ 条件から$S$のベクトル$\mathbf{a, b}$と、この$2$つのベクトルがなす角$\theta$に対して、$$\begin{eqnarray}\frac{2(\mathbf{a, b})}{(\mathbf{b, b})} & = & \frac{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos{\theta}}{|\mathbf{b}|^2}\\ & = & \frac{|\mathbf{a}|\cos{\theta}}{|\mathbf{b}|}\end{eqnarray}$$は整数である。この値を$k$とする。また、$$\frac{2(\mathbf{b, a})}{(\mathbf{a, a})} = \frac{2|\mathbf{b}|\cos{\theta}}{|\mathbf{a}|}$$も同じく整数となる。この値を$l$とする。$kl = 4\cos^2{\theta}\leq 4$は整数なので、$4\cos^2{\theta} = 0, 1, 2, 3, 4$となる。すると、$\displaystyle |\cos{\theta}| = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$となり、$\theta$は$90^\circ, 60^\circ, 45^\circ, 30^\circ, 0^\circ$およびそれらの補角となる。

$(2)$ なす角$\theta$が$0^\circ$のとき、$kl = 4\cos^2{\theta} = 4$だから$(|k|, |l|) = (1, 4), (2, 2), (3, 1)$で、このときベクトルの大きさの比は$\underline{1:2}$あるいは$\underline{1:1}$となる。
なす角$\theta$が$30^\circ$のとき、$kl = 4\cos^2{\theta} = 3$だから$(|k|, |l|) = (1, 3), (3, 1)$で、このときベクトルの大きさの比は$\underline{1:\sqrt{3}}$となる。
なす角$\theta$が$60^\circ$のとき、$kl = 4\cos^2{\theta} = 1$だから$(|k|, |l|) = (1, 1)$で、このときベクトルの大きさの比は$\underline{1:1}$となる。

$(3)$ 単位円の上に、$(1, 0)$を取り、$(2)$を利用して$12$個の点を描く。ベクトル$(1, 0)$となす角が$30^\circ$のときは長さが$\sqrt{3}$になるように、なす角が$60^\circ$のときは長さが$1$になるように$\cdots$と考えていくと、下図のようにベクトルを取ると条件を満たす。