[math]1978年京都大学数学文理共通問題文系問題2理系問題2

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問題

三角形$OAB$の重心$G$を通る直線が、辺$OA, OB$とそれぞれ辺上の点$P, Q$で交わっているとする。$\overrightarrow{OP} 0 h\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OB}$とし、三角形$OAB$、三角形$OPQ$の面積をそれぞれ$S, T$とすれば、次の関係が成り立つことを示せ。
$(1)$ $\displaystyle \frac{1}{h}+\frac{1}{k} = 3$
$(2)$ $\displaystyle \frac{4}{9}S\leq T \leq \frac{1}{2}S$

方針

$(2)$ 相加平均・相乗平均の関係式が使える。

解答

$(1)$ $\displaystyle \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3}$であり、$\overrightarrow{OG} = (1-x)\overrightarrow{OP} + x\overrightarrow{OQ}\ \ (0<x<1)$とおける。ここに$\overrightarrow{OP} = h\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OB}$を代入して、$\overrightarrow{OG} = h(1-x)\overrightarrow{OA} + kx\overrightarrow{OB}$となる。したがって、$$\begin{cases}\displaystyle h(1-x) = \frac{1}{3}\\ \displaystyle kx = \frac{1}{3}\end{cases}$$である。この式から$x$を消去すると、$\displaystyle x = \frac{1}{3k} = 1-\frac{1}{3h}$となる。よって、$\displaystyle \frac{1}{h}+\frac{1}{k}=3$となる。

$(2)$ $\displaystyle \frac{T}{S} = hk$だから、$(1)$の条件のもとで$\displaystyle \frac{4}{9}\leq hk\leq \frac{1}{2}$を示せば良い。$\displaystyle 0 < x = \frac{1}{3k} < 1$だから、$\displaystyle \frac{1}{3}<k$となる。また、点$Q$は辺$OB$上にあるので、$k < 1$である。つまり、$\displaystyle \frac{1}{3}<k<1$となる。相加平均・相乗平均の関係から$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h}+\frac{1}{k}\right)\geq \sqrt{\frac{1}{hk}}$$である。よって、$\displaystyle \frac{3}{2}\geq \sqrt{\frac{1}{hk}}$だから、$\displaystyle \frac{4}{9}\leq hk$となる。また、$\displaystyle hk\leq \frac{1}{2}$を示すには、$\displaystyle 2k\leq \frac{1}{h} = 3-\frac{1}{k}$を示せば良い。両辺に$k$を掛けて整理すると、$2k^2-3k+1 = (2k-1)(k-1)\leq 0$を示せばよいのだが、$\displaystyle \frac{1}{3}<k<1$なのでこれは成立する。以上から題意が成り立つ。