[math]2005年東京大学理系後期数学問題3

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問題

$a$は実数で、$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq a<2$を満たすとする。$xy$平面の領域$D, E$を$$D: 1\leq x^2+y^2\leq 4, \ \ E: a\leq x\leq a+1$$で定める。領域$D$と$E$の共通部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とおく。
$(1)$ $S(a)$を定積分で表わせ。
$(2)$ 導関数$S^{\prime}(a)$を$a$の関数として求めよ。
$(3)$ $S(a)$を最大にするような実数$a$を解にもつ$4$次方程式$$3x^4+px^3+qx^2+rx+s=0\ \ (p, q, r, sは整数)$$を求めよ。
$(4)$ $(3)$で求めた方程式で、$x = \sqrt{2}t$とおき、さらに$\displaystyle z = t-\frac{1}{t}$とすることにより、この方程式を$z$についての$2$次方程式として表わせ。
$(5)$ $S(a)$を最大にするような$a$の値を求めよ。

方針

$(1)$ 場合分けが必要になる。$(2), (3), (4)$は誘導に従う。$(5)$であるが、二次方程式を何回も解くことになるので、最初に適切な場合分けを行って、候補を絞ってしまうのが良い。

解答

$(1)$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq a \leq 0$のとき、下の図から$\displaystyle S(a) = 2\int_{a}^{a+1}{\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1-x^2}\right)dx}$である。

$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq a 0$のとき。斜線部が$S(a)$となる。

$0\leq a\leq 1$のとき、下図から$\displaystyle S(a) = 2\int_{a}^{a+1}{\sqrt{4-x^2}dx}-2\int_{a}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$である。

$1\leq a < 2$のとき、下の図から$\displaystyle S(a) = 2\int_{a}^{2}{\sqrt{4-x^2}dx}$である。

まとめると、$$S(a) = \begin{cases}\displaystyle 2\int_{a}^{a+1}{\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1-x^2}\right)dx}\ \ \left(-\frac{1}{2}\leq a\leq 0\right)\\ \displaystyle 2\int_{a}^{a+1}{\sqrt{4-x^2}dx}-2\int_{a}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}\ \ \left(0\leq a\leq 1\right) \\ \displaystyle 2\int_{a}^{2}{\sqrt{4-x^2}dx}\ \ (1\leq a<2)\end{cases}$$となる。

$(2)$ $(1)$から、$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq a\leq 0$のとき、$$\begin{eqnarray}S^{\prime}(a) & = & 2\sqrt{4-(a+1)^2}-2\sqrt{4-a^2}-2\left(\sqrt{1-(a+1)^2}-\sqrt{1-a^2}\right)\end{eqnarray}$$である。$0\leq a\leq 1$のとき、$$S^{\prime}(a) = 2\sqrt{4-(a+1)^2}-2\sqrt{4-a^2}+2\sqrt{1-a^2}$$である。$\displaystyle 1\leq a<2$のとき、$$S^{\prime}(a) = -2\sqrt{4-a^2}$$である。まとまると、$$S^{\prime}(a) = \begin{cases}\displaystyle 2\sqrt{4-(a+1)^2}-2\sqrt{4-a^2}-2\sqrt{1-(a+1)^2}+2\sqrt{1-a^2}\ \ \left(-\frac{1}{2}\leq a\leq 0\right)\\ \displaystyle 2\sqrt{4-(a+1)^2}-2\sqrt{4-a^2}+2\sqrt{1-a^2}\ \ (0\leq a\leq 1)\\ \displaystyle -2\sqrt{4-a^2}\ \ (1\leq a\leq 2)\end{cases}$$となる。

$(3)$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq a\leq 0$のとき、$$\begin{eqnarray}S^{\prime}(a) & = & \frac{2(a^2-(a+1)^2)}{\sqrt{4-(a+1)^2}+\sqrt{4-a^2}}-\frac{2(a^2-(a+1)^2)}{\sqrt{1-(a+1)^2}+\sqrt{1-a^2}}\\ & = & -2(2a+1)\left(\frac{1}{\sqrt{4-(a+1)^2}+\sqrt{4-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-(a+1)^2}+\sqrt{1-a^2}}\right)\end{eqnarray}$$となるが、$\displaystyle -\frac{1}{2} < a\leq 0$でこれは正になる。また、先に$1\leq a < 2$のときを考えると、$\displaystyle S^{\prime}(a) = -2\sqrt{4-a^2} < 0$である。最後に$0\leq a\leq 1$のときを考えると、$$\begin{eqnarray}S^{\prime\prime}(a) & = & \frac{-2(a+1)}{\sqrt{4-(a+1)^2}}+\frac{2a}{\sqrt{4-a^2}}-\frac{2a}{\sqrt{1-a^2}}\\ & = & -\frac{2(a+1)}{\sqrt{4-(a+1)^2}}-2a\cdot \frac{\sqrt{4-a^2}-\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}\sqrt{4-a^2}} \\ & < & 0\end{eqnarray}$$である。$S^{\prime}(0) = 2(\sqrt{3}-1) > 0, S^{\prime}(1) = -2\sqrt{3} < 0$であるから、$0<a<1$に$S^{\prime}(a) = 0$となる$a$がただ一つ存在する。$S^{\prime}(a)$が$0$になるとき$$\sqrt{4-a^2}-\sqrt{4-(a+1)^2} = \sqrt{1-a^2} \tag{a}\label{a}$$である。両辺を二乗して、$$4-a^2-2\sqrt{4-a^2}\sqrt{4-(a+1)^2}+4-(a+1)^2 = 1-a^2$$である。整理して、$$2\sqrt{4-a^2}\sqrt{4-(a+1)^2} = -a^2-2a+6 \tag{b}\label{b}$$となる。$-a^2-2a+6=0$の解は$\displaystyle a =-1\pm \sqrt{7}$であり、$0\leq a\leq 1$のとき$-a^2-2a+6$は正になる。したがって、\eqref{b}の両辺を二乗して、$$4(4-a^2)(4-(a+1)^2) = (-a^2-2a+6)^2$$である。計算すると、$$\begin{eqnarray}4(4-a^2)(3-a^2-2a) & = & a^4+4a^2+36 + 4a^3-24a -12a^2 \\ 4(12-4a^2-8a-3a^2+a^4+2a^3) & = & a^4+4a^2+36 + 4a^3-24a -12a^2 \\ 3a^4+4a^3-20a^2-8a+12 & = & 0 \tag{c}\label{c}\end{eqnarray}$$となる。よって、$\underline{p= 4, q = -20, r = -8, s = 12}$となる。

$(4)$ $(3)$で求めた\eqref{c}で$a$と$x$で置き換えて、$$3x^4+4x^3-20x^2-8x+12 = 0 \tag{d}\label{d}$$である。\eqref{d}で$x = \sqrt{2}t$とすると、$$12t^4+8\sqrt{2}t^3-40t^2-8\sqrt{2}t + 12 = 0$$となる。$4$で割って$$3t^4+2\sqrt{2}t^3-10t^2-2\sqrt{2}t + 3 = 0$$となる。$t = 0$はこの方程式の解でないので、両辺を$t^2$で割ると、$$3t^2+2\sqrt{2}t-10-2\frac{\sqrt{2}}{t}+\frac{3}{t^2} = 0$$となる。変形して、$$\begin{eqnarray}3\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)+2\sqrt{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)-10 & = & 0\\ 3\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+6+2\sqrt{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)-10 & = & 0 \\ 3z^2+2\sqrt{2}z-4 &= & 0\end{eqnarray}$$となる。以上から、求める$z$の$2$次方程式は$\underline{3z^2+2\sqrt{2}z-4 = 0}$となる。

$(5)$ $(4)$から$\displaystyle x = \sqrt{2}t$である。$\displaystyle z = t-\frac{1}{t}$だから、$t^2-zt-1=0$で、$\displaystyle t = \frac{z\pm\sqrt{z^2+4}}{2}$であるが、$0\leq x\leq 1$だから、$\displaystyle t = \frac{z+\sqrt{z^2+4}}{2}$となる。したがって、$\displaystyle x = \sqrt{2}t = \frac{\sqrt{2}}{2}(z+\sqrt{z^2+4})$となる。$(4)$から$\displaystyle z = \frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{14}}{3}$であるが、$\displaystyle z = \frac{t^2-1}{t} = \frac{\frac{x^2}{2}-1}{\frac{x}{\sqrt{2}}} < 0$だから、$\displaystyle z = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{3}$である。これより、$$\begin{eqnarray}z^2+4 & = & \frac{16+4\sqrt{7}}{9} + 4\\ & = & \frac{52+4\sqrt{7}}{9}\\ & = & \frac{4}{9}(13+\sqrt{7}) \end{eqnarray}$$となる。計算を進めると、$$\begin{eqnarray}x & = & \frac{\sqrt{2}}{2}(z+\sqrt{z^2+4})\\ & = & \underline{\frac{\sqrt{2}\sqrt{13+\sqrt{7}}-(1+\sqrt{7})}{3}}\end{eqnarray}$$となる。