[math]2007年東京医科歯科大学前期数学問題1

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問題

以下の各問に答えよ。
$(1)$ 底面の半径が$r$、高さが$h$の直円錐の側面積を$r$と$h$を用いて表わせ。
$(2)$ 座標平面上の$4$点$\displaystyle A\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right), B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), E\left(0, \frac{3}{2}\right), F(0, 1)$を考える。四角形$ABEF$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の表面積を求めよ。
$(3)$ 座標平面上の曲線$C: x^2+y^2 = 3\ \ (0<x<\sqrt{2}, 1<y<\sqrt{3})$の上の点$Q$を考える。点$Q$と同じ$y$座標を持つ$y$軸上の点を$H$とし、原点$O$と点$Q$を結ぶ線分$OQ$が直線$y = 1$と交わる点を$P$とする。さらに点$F(0, 1)$をとる。四角形$PQHF$を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の面のうち、線分$PQ$が$1$回転してできる面の表面積を$S$とする。点$Q$が曲線$C$上を動くとき$S$の最大値を求めよ。

方針

立体図形の問題である。$(1)$では底面を入れないように気をつける。

解答

$(1)$ 下図から、求める側面積は$\displaystyle 2\pi r\sqrt{r^2+h^2} \times \frac{1}{2} = \underline{\pi r\sqrt{r^2+h^2}}$となる。

$(2)$ 点$A, B$は直線$y = \sqrt{3}x$上にある。原点を$O$として、$EB$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円を底面とし、点$O$を頂点とする直円錐の側面積は$(1)$から$\displaystyle \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\pi$である。同様に、$AF$を$y$軸の周りに$1$回転してできる円を底面とし、点$O$を頂点とする直円錐の側面積は$\displaystyle \pi\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\frac{3}{9}+1} = \frac{2}{3}\pi$である。最後に、$EB$を$y$軸のｍわりに$1$回転してできる円の面積は$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \pi = \frac{3}{4}\pi$であり、$AF$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円の面積は$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{1}{3}\pi$である。求める表面積は$\displaystyle \frac{3}{2}\pi-\frac{2}{3}\pi+\frac{3}{4}\pi+\frac{1}{3}\pi = \underline{\frac{23}{12}\pi}$となる。

$(3)$ 点$Q$の座標を$(q, \sqrt{3-q^2})\ \ (0<q<\sqrt{3})$とする。直線$OQ$は$\displaystyle y = \frac{\sqrt{3-q^2}}{q}x$と書けるので、点$P$の座標は$\left(\frac{q}{\sqrt{3-q^2}}, 1\right)$となる。$(2)$と同様に考えて、$$\begin{eqnarray}S & = & \pi q\sqrt{q^2+(3-q)^2}-\pi \frac{q}{\sqrt{3-q^2}}\sqrt{\frac{q^2}{3-q^2}+1}\\ & = & \sqrt{3}q\pi-\frac{\sqrt{3}q\pi}{3-q^2}\\ & = & \frac{2q-q^3}{3-q^2}\sqrt{3}\pi\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle f(q) = \frac{-q^3+2q}{3-q^2}\ \ (0<q<\sqrt{2})$とすると、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(q) & = & \frac{(-3q^2+2)(3-q^2)-(-q^3+2q)(-2q)}{(3-q^2)^2}\\ & = & \frac{-9q-2+3q^4+6-2q^2-2q^4+4q^2}{(3-q^2)^2}\\ & = & \frac{q^4-7q^2+6}{(3-q^2)^2}\\ & = & \frac{(q^2-6)(q^2-1)}{(3-q^2)^2}\end{eqnarray}$$である。したがって、$0 < q < \sqrt{2}$から$q = 1$のときに$f(q)$は最大値をとり、$\displaystyle f(1) = \frac{1}{2}$であるから、$S$の最大値は$\displaystyle f(1)\cdot \sqrt{3}\pi = \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}\pi}$となる。

解説

表面積は意外と珍しい題材かもしれない。

$(1)$ ここで間違うと$(2), (3)$すべてを間違ってしまう。東京医科歯科大学の問題では$(1)$は簡単な問題が出題されることが多いので、多少時間を掛けても慎重に取ったほうが良い。扇形の面積は展開図を考え、円弧の部分（図では$2\pi r$）を底辺、$\sqrt{r^2+h^2}$を高さとする三角形と考えると覚えやすい。三角形の面積は底辺$\times$高さ$\displaystyle \times \frac{1}{2}$で、扇形の面積も$\displaystyle 2\pi r\times \sqrt{r^2+h^2}\times \frac{1}{2}$となっている。

$(2)$ $(1)$を用いる。今度は側面積でなく表面積なので、上下の円の面積も答えに含める必要がある。

$(3)$ 点$Q$の座標は$\sqrt{3}(\cos{\theta}, \sin{\theta})$と置いても良い。解答のように置いても手間はそれほど変わらない。結局微分が必要になるが、大した計算ではない。$(1), (2)$と違って$PQ$の動いた部分の面積だけを求める。