[math]1984年京都大学理系数学問題4

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問題

空間に三角形$ABC$があるとし、空間の原点$O$は、この三角形が決定する平面上にはないものとする。
$(1)$ 実数$v, u, w$が等式$u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OB}+w\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$を満たすならば、$u = v = w = 0$であることを示せ。
$(2)$ 辺$BC, CA, AB$の長さを、それぞれ$a, b, c$とし、三角形$ABC$の内接円の中心を$P$とすると、等式$\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB} + w\overrightarrow{OC}$が成立するという。$u, v, w$を$a, b, c$を用いて表わせ。

方針

$(1)$ いきなり空間で示さず、まずは平面で示してみる。

解答

$(1)$ 平面上の平行でない二つのベクトル$\overrightarrow{OX}, \overrightarrow{OY}$に対して、$x\overrightarrow{OX}+y\overrightarrow{OY} = \overrightarrow{0}$であるならば$x = y = 0$であることを示す。$x\ne 0$とすると、$\displaystyle \overrightarrow{OX} = -\frac{y}{x}\overrightarrow{OY}$となり、二つのベクトルが平行でないことに反する。よって$x = 0$で、このとき$y = 0$となる。与えられた関係式$$u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB} + w\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$を変形すると、$$-u\overrightarrow{AO}+v(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}) +w(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO})= \overrightarrow{0}$$となる。整理すると$$(u+v+w)\overrightarrow{AO} = v\overrightarrow{AB} + w\overrightarrow{AC}$$である。$u+v+w = 0$とすると、$$\overrightarrow{AO} = \frac{v\overrightarrow{AB} + w\overrightarrow{AC}}{u+v+w}$$となり、点$O$が三角形$ABC$の作る平面上にないことに反する。したがって$u+v+w = 0$で、このとき$v\overrightarrow{AB} + w\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$だから、上の準備から$v = w = 0$である。よって$u = 0$となり、結局$u = v = w = 0$となる。

$(2)$ 下図のように線分$AP$と$BC$との交わりを$D$として、$BD = d$とする。すると、$\angle{BAD} = \angle{CAD}$であるから、$AB:AC = BD:CD$となる。よって、$c(a-d) = bd$から$\displaystyle d = \frac{ca}{b+c}$である。

また、$\angle{DAP} = \angle{ABP}$であるから、$BD:BA = DP:AP$である。以上から$\displaystyle \overrightarrow{AD} = \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{b+c}$となり、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{AP} & = & \frac{c}{d+c}\overrightarrow{AD}\\ & = & \frac{c}{\frac{ca}{b+c}+c}\left(\frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{b+c}\right)\\ & = & \frac{b\overrightarrow{AB} +c\overrightarrow{AC} }{a+b+c}\end{eqnarray}$$となる。これを変形すると、$$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA} = \frac{b(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+c(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})}{a+b+c}$$であり、つまり$\displaystyle \overrightarrow{OP} = \frac{a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}$であるが、この表し方で一意にベクトル$\overrightarrow{OP}$が定まることは$(1)$で見た通りである。よって、$\displaystyle \underline{u = \frac{a}{a+b+c}, v = \frac{b}{a+b+c}, w = \frac{c}{a+b+c}}$である。