[math]1988年京都大学A日程文理共通問題文系問題2理系問題2

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問題

三角形$ABC$において、辺$AB, BC, CA$をそれぞれ$2: 1$に内分する点を$A_1, B_1, C_1$とし、また線分$A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1$をそれぞれ$2:1$に内分する点を$A_2, B_2, C_2$とする。このとき、三角形$A_2B_2C_2$は三角形$ABC$に相似であることを示せ。

方針

ベクトルの威力が発揮される。

解答

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$と置く。このとき、$\displaystyle \overrightarrow{AA_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AB_1} = \frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{3}, \overrightarrow{AC_1} = \frac{\overrightarrow{c}}{3}$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{AA_2} & = & \frac{\overrightarrow{AA_1}+2\overrightarrow{AB_1}}{3} \\ & = & \frac{4\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{9}\\ \overrightarrow{AB_2} & = & \frac{\overrightarrow{AB_1} + 2\overrightarrow{AC_2}}{3}\\ & = & \frac{\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{9}\\ \overrightarrow{AC_2} & = & \frac{\overrightarrow{AC_1} + 2\overrightarrow{AA_1}}{3} & = & \frac{4\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{9}\end{eqnarray}$$となる。よって、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{A_2B_2} & = & \frac{\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{9}-\frac{4\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{9}\\ & = & -\frac{\overrightarrow{b}}{3}\\ \overrightarrow{A_2C_2} & = & \frac{4\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{9}-\frac{4\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}}{9}\\ & = & -\frac{\overrightarrow{c}}{3}\end{eqnarray}$$となり、三角形$A_2B_2C_2$は三角形$ABC$に相似で、相似比は$1: 3$となる。