問題
原点\(O\)を中心とする単位円周上に相異なる点\(P_1, P_2, P_3, P_4\)があって$$\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4} = \overrightarrow{0}$$となっている。このとき\(P_1, P_2, P_3, P_4\)はある長方形の頂点となることを示せ。
方針
中点の座標に注目する。
解答
単位円周上に\(P_1, P_2, P_3, P_4\)の順に並んでいるとしても一般性を失わない。このとき、与えられた条件から\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}}{2}+\frac{\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_4}}{2}=\overrightarrow{0}\)であるから、線分\(P_1P_2\)の中点を\(M\)、線分\(P_3P_4\)の中点を\(N\)としたとき、\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{0}\)であるから、線分\(MN\)の中点は原点\(O\)である。さらに、\(P_1P_2\)と\(P_3P_4\)が平行であることも分かる。同様に、\(P_2P_3\)の中点を\(M^{\prime}\)、\(P_1P_4\)の中点を\(N^{\prime}\)とすると、\(\overrightarrow{OM^{\prime}+\overrightarrow{ON^{\prime}}} = \overrightarrow{0}\)であるから、線分\(M^{\prime}N^{\prime}\)の中点も原点\(O\)となる。さらに、\(P_2P_3\)と\(P_1P_4\)が平行であることも分かる。以上から、下の図のようになり、\(P_1P_2P_3P_4\)が長方形であることが分かる。
解説
ゴチャゴチャと式でやろうとするとなかなか混乱させられる。解答のように中点に着目すると比較的明快に解くことが出来る。しっかりとした答案を書こうとすると見かけの割にはそれほど簡単だとは言えない問題である。
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