[math]1996年京都大学前期数学問題文理共通文系問題1理系問題1

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問題

$xy$平面上の原点$O$を中心とし半径$1$の円$C$上に定点$A$をとる。同じ円上の点$X$に対し、平面上の点$Y$を$\overrightarrow{OY} = \overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OX})\overrightarrow{OX}$で定める。ただし、$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{}OX$は$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OX}$の内積である。このとき、
$(1)$ $\overrightarrow{OY} = 1$であることを示せ。
$(2)$ $\overrightarrow{OY} = -\overrightarrow{OA}$となる点$X$をすべて求めよ。
$(3)$ 点$X$が円$C$を$1$回まわるとき、点$Y$は同じ円を$2$回まわることを示せ。

方針

座標設定するのが良いだろう。

解答

一般性を失うことなく、$A(1, 0), X(\cos{\theta}, \sin{\theta})\ (0^\circ\leq \theta < 360^\circ)$と置ける。このとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OY} & = & (1, 0)-2\cos{\theta}(\cos{\theta}, \sin{\theta}) \\ & = & (1, 0)-(2\cos^2{\theta}, 2\sin{\theta}\cos{\theta})\\ & = & (1-2\cos^2{\theta}, -2\sin{\theta}\cos{\theta})\\ & = & -(\cos{2\theta}, \sin{2\theta})\end{eqnarray}$$である。

$(1)$ 上記から、$|\overrightarrow{OY}| = 1$となる。

$(2)$ $\overrightarrow{OY} = -\overrightarrow{OA}$となるとき、$-(\cos{2\theta}, \sin{2\theta}) = (-1, 0)$であるから、$2\theta = 0^\circ, 360^\circ$となる。すなわち、$\theta = 0^\circ, 180^\circ$である。よって、点$X$が点$A$と一致するか、原点$O$に関して対称な位置にあるときに、題意が満たされる。

$(3)$ $\theta$が$0^\circ$から$360^\circ$まで動くとき、点$X$は円$C$を一周するが、点$Y (\cos{(2\theta+180^\circ)}, \sin{(2\theta+180^\circ)})$は円$C$を$2$周する。