[math]1999年京都大学前期数学理系問題2

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問題

平面上に$2$定点$A, B$をとる。$c$は正の定数として、平面上の点$P$が$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}| +\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB} = c$を満たすとき、点$P$の軌跡を求めよ。

方針

ベクトルのまま解こうとしてはいけない。

解答

点$A(-a, 0), B(a, 0)\ (a > 0)$と置く。また、点$P(x, y)$とする。与えられた条件式から、$$\sqrt{(-a-x)^2 + y^2}\sqrt{(a-x)^2+y^2} + (-a-x, -y)\cdot (a-x, -y) = c$$である。変形して、$$\sqrt{(a+x)^2+y^2}\sqrt{(a-x)^2 + y^2} = c+a^2-x^2-y^2$$である。$c+a^2-x^2-y^2 > 0$のもとで両辺を二乗して、$$((a+x)^2+y^2)((a-x)^2+y^2) = (c+a^2-x^2-y^2)^2$$となる。展開すると、$$(a^2-x^2)^2 + y^2((a-x)^2+(a+x)^2) + y^4 = (c+a^2)^2-2(c+a^2)(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2$$である。つまり、$$-2a^2x^2+2y^2(a^2+x^2) = c^2+2ca^2-2(c+a^2)(x^2+y^2)+2x^2y^2$$である。整理すると、$$\frac{x^2}{\frac{c+2a^2}{2}} + \frac{y^2}{\frac{c}{2}} = 1$$となる。$a > 0, c > 0$だから、点$P$の軌跡は楕円になる。このとき、$\displaystyle x = \sqrt{\frac{c+2a^2}{2}}\cos{\theta}, y = \sqrt{\frac{c}{2}}\sin{\theta}$とすると、$\displaystyle x^2+y^2 = \frac{c}{2}+\frac{2a^2}{2}\cos^2{\theta}\leq c + a^2$だから二乗したときの条件は満たされる。

解説

べクトルの見たことの無い関係式が現れているので座標設定してしまう。計算は多めだが必ず解ける筈と思って進めていけば何ということはない。現れた式を二乗しているので最後の確認は必須であるが。このような問題では、べクトルということに拘泥せずに計算は多めでも座標設定すれば解ける、ということを頭に入れておくと良い。なお、余弦定理と内積を用いてべクトルのまま楕円であることを示すことも可能ではある。

以下の問題を参照すると良い。