問題
三角形\(ABC\)に対し、辺\(AB\)上に点\(P\)を、辺\(BC\)上に点\(Q\)を、辺\(CA\)上に点\(R\)を、頂点とは異なるようにとる。この\(3\)点がそれぞれ辺上を動くとき、この\(3\)点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。
方針
これも自力での設定が必要になる。
解答
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\)とおいて、\(\overrightarrow{AP} = p\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AQ} = (1-q)\overrightarrow{b}+q\overrightarrow{c}, \overrightarrow{AR} = (1-r)\overrightarrow{c}\)とする。ただし、\(0<p<1, 0<q<1, 0<r<1\)である。
このとき、三角形\(PQR\)の重心のベクトルを\(\overrightarrow{OG}\)とすると、$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(p+1-q)\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}(q+1-r)\overrightarrow{c}$$である。\(3x = p+1-q, 3y = q+1-r\)とすると、$$\overrightarrow{OG} = x\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}$$である。ここで、\(p = 3x-1+q, r = -3y+q+1\)であるから、\(0<p<1, 0<r<1\)に代入して、$$\begin{cases}0<3x-1+q<1\\ 0<-3y+q+1<1\end{cases}$$となる。したがって、$$\begin{cases}-3x+1<q<-3x+2\\ 3y-1<q<3y\end{cases}$$である。この二式が成り立ち、\(0<q<1\)であるから、\(x, y\)の満たす必要十分条件は$$\begin{cases}-3x+1<1\\ 0<-3x+2\\ 3y-1<1\\ 0<3y \\ -3x+1<3y \\ 3y-1<-3x+2\end{cases}$$である。よって、この領域を図示すると下の図のようになる。ただし、境界はすべて含まない。
解説
やってしまえば難しくないが、自力で設定できたかどうかで点が分かれたかもしれない。きっちりと説明を書こうと考えると、見た目ほど簡単な問題ではないだろう。
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