問題
点\(O\)を中心とする円に内接する\(\triangle{ABC}\)の\(3\)辺\(AB, BC, CA\)をそれぞれ\(2:3\)に内分するような点を\(P, Q, R\)とする。\(\triangle{PQR}\)の外心が点\(O\)と一致するとき、\(\triangle{ABC}\)はどのような三角形か。
方針
外接円の半径は\(1\)としても特に一般性を失うことはない。
解答
三角形\(ABC\)の外接円の半径を\(1\)として一般性を失わない。\(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}\)とすると、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP} & = & \frac{3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}{5}\\ \overrightarrow{OQ} & = & \frac{3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}}{5}\\ \overrightarrow{OR} & = & \frac{3\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}}{5}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{OP}|^2 & = & \frac{9+12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4}{25}\\ |\overrightarrow{OQ}|^2 & = & \frac{9+12\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+4}{25}\\ |\overrightarrow{OP}|^2 & = & \frac{9+12\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a} + 4 }{25}\end{eqnarray}$$であり、これらがすべて等しいので、\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\)である。この値を\(k\)とすると、$$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{AB}|^2 & = & |\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2\\ & = & 2-2k\end{eqnarray}$$である。同様に\(|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = 2-2k\)となるので、三角形\(ABC\)は正三角形である。
解説
やはりこの年代以降の京都大学の問題では、難しい知識を動員して解くというよりは、やや易しめの問題を自力で設定して解く力を見るという方針になっていると感じられる。
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