問題
平面上のベクトル\(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\)について、$$|\overrightarrow{u}| = 1, |\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}| = 1, |2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{2}$$が成り立っているとする。原点を\(O\)とし、点\(P, Q\)を\(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{v}\)で定めるとき、三角形\(OPQ\)の面積を求めよ。
方針
この問題も座標設定してしまうのが早い。
解答
\(|\overrightarrow{u}| = 1\)であるから点\(P(1, 0)\)とすることができる。点\(Q(x, y)\)と置くと、$$|(1+3x, 3y)| = 1, |(2+x, y)| = \sqrt{2}$$であるから、$$\begin{cases}(1+3x)^2+9y^2 = 1\\ (2+x)^2 + y^2 = 2\end{cases}$$である。したがって、$$\begin{cases}9(x^2+y^2)+6x = 0\\ x^2+y^2+4x+2 = 0\end{cases}$$である。\(x^2+y^2\)を消去すると、\(\displaystyle x = -\frac{3}{5}\)を得る。下の式に代入して、\(\displaystyle y^2 = \frac{1}{25}\)である。よって、三角形\(OPQ\)の面積は、\(\displaystyle \frac{1}{2}|y| = \underline{\frac{1}{10}}\)である。
解説
解答のように座標設定しても良いし、ベクトルの内積を求める方針でも良い。
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