問題
正三角形\(ABC\)の辺\(AB\)上に点\(P_1, P_2\)が、辺\(BC\)上に点\(Q_1, Q_2\)が、辺\(CA\)上に点\(R_1, R_2\)があり、どの点も頂点に一致していないとする。このとき三角形\(P_1Q_1R_1\)の重心と三角形\(P_2Q_2R_2\)の重心が一致すれば、\(P_1P_2 = Q_1Q_2 = R_1R_2\)が成り立つことを示せ。
方針
\(A\)を起点にベクトルを考える。
解答
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\)とおく。このとき、\(\overrightarrow{AP_1} = p_1\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AP_2} = p_2\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AQ_1} = (1-q_1)\overrightarrow{b} + q_1\overrightarrow{c}, \overrightarrow{AQ_2} = (1-q_2)\overrightarrow{b} + q_2\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{AR_1} = (1-r_1)\overrightarrow{c}, \overrightarrow{AR_2} = (1-r_2)\overrightarrow{c}\)とおける。三角形\(P_1Q_1R_1\)と\(P_2Q_2R_2\)の重心が一致するから、$$(p_1+1-q_1)\overrightarrow{b} + (q_1+1-r_1)\overrightarrow{c} = (p_2+1-q_2)\overrightarrow{b}+(q_2+1-r_2)\overrightarrow{c}$$である。したがって、\(p_1+1-q_1 = p_2+1-q_2, q_1+1-r_1 = q_2+1-r_2\)だから、\(p_1-p_2 = q_1-q_2 = r_1-r_2\)となり、\(P_1P_2 = Q_1Q_2 = R_1R_2\)が成り立つ。
解説
易しめの問題になる。
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