[math]2021年東京医科歯科大学前期数学問題2

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問題

$a, h$を正の実数とし、$xyz$空間の$5$点$A(a, a, 0), B(-a, a, 0), C(-a, -a, 0), D(a, -a, 0), E(0, 0, h)$を頂点とする四角錐を$P$とする。$P$の$yz$平面による断面の周の長さが$1$であるとき、以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $h$を$a$の式で表わせ。また、$a$が取り得る値の範囲を求めよ。
$(2)$ 球$S$は$P$のすべての面に接しているとする。$a$が$(1)$で求めた範囲を動くとき、$S$の体積が最大となる$a$の値を求めよ。
$(3)$ 直方体$Q$は$1$つの面が$xy$平面上にあり、すべての頂点が$P$の辺上または面上にあるとする。$a$を固定したとき、$Q$の体積が取り得る値の最大値を$V(a)$とおく。$a$が$(1)$で求めた範囲を動くとき、$V(a)$の最大値を求めよ。

方針

立体図形の問題では適切な断面を考えることが重要である。

解答

図形概略図は以下のようになる。

$(1)$ 下の図から$2\sqrt{a^2+h^2} + 2a = 1$となる。よって、$\displaystyle \underline{h = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-a\right)^2-a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{1-4a}}$である。このような$h$が存在するためには、$\displaystyle \underline{0 < a < \frac{1}{4}}$が必要である。

$(2)$ $S$の半径を$r$とすると、下の図の三角形の面積を考えて、$$\frac{r}{2}(2a+2\sqrt{h^2+a^2}) = \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h$$である。

これから、$$\begin{eqnarray}r & = & \frac{ah}{a+\sqrt{h^2+a^2}}\\ & = & 2ah\\ & = & a\sqrt{1-4a}\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle f(a) = a\sqrt{1-4a}\ \ \left(0 < a < \frac{1}{4}\right)$とすると、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(a) & = & \sqrt{1-4a} + a\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{-4}{\sqrt{1-4a}}\\ & = & \frac{1-6a}{\sqrt{1-4a}}\end{eqnarray}$$となる。したがって、$f(a)$は$\displaystyle \underline{a = \frac{1}{6}}$のときに最大となるが、このとき$S$の体積も最大となる。

$(3)$ $xy$平面に平行な平面$z = k (0 < k\leq h)$で$P$の断面を考える。断面は下の図のような四角形になるが、この四角形の内部に取れる最大の四角形を$Q$の上の面とすれば、$Q$の体積は最大になる。

そのような四角形は、断面そのものに他ならない。四角形の一辺の長さを$2x$とすると、下の図の三角形の相似を利用して、$h-k:\sqrt{2}x = h:\sqrt{2}a$となり、$\displaystyle x = \frac{(h-k)a}{h}$となる。$Q$の体積は$$\begin{eqnarray}(2x)^2k & = & \frac{4(h-k)^2a^2}{h^2}k\end{eqnarray}$$となる。

$a$を固定して$k(h-k)^2$が最大になる$k$を定める。$a$を固定したとき$h$も固定されることに注意する。$g(k) = k(h-k)^2\ \ (0 < k\leq h)$とすると、$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(k) & = & (h-k)^2 – 2k(h-k)\\ & = & (h-k)(h-k-2k)\\ & = & (h-k)(h-3k)\end{eqnarray}$$となる。したがって、$g(k)$は$\displaystyle k = \frac{h}{3}$のときに最大となるので、$$\begin{eqnarray}V(a) & = & \frac{4a^2}{h^2}g\left(\frac{h}{3}\right) \\ & = & \frac{16a^2h}{27}\\ & = & \frac{8}{27}a^2\sqrt{1-4a}\end{eqnarray}$$である。$p(a) = a^2\sqrt{1-4a}$とすると、$$\begin{eqnarray}p^{\prime}(a) & = & 2a\sqrt{1-4a}-a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{1-4a}}\\ & = & \frac{2a(1-4a)-2a^2}{\sqrt{1-4a}}\\ & = & \frac{2a(1-5a)}{\sqrt{1-4a}}\end{eqnarray}$$である。したがって$p(a)$は$\displaystyle a = \frac{1}{5}$のとき最大値をとり、このとき$\displaystyle V(a) = \frac{8}{27}\cdot \frac{1}{25}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \underline{\frac{8\sqrt{5}}{3375}}$となる。