[math]2020東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$a$を正の実数、$m$を実数とし、$k_1 = m + \sqrt{m^2+1}, k_2 = m-\sqrt{m^2+1}$とする。さらに、$C_0, C_1, C_2$を複素数平面上でそれぞれ$$\begin{eqnarray}C_0: & (m+i)z + (m-i)\bar{z} + 2a = 0, C_1:& (k_1+i)z + (k_1-i)\bar{z}-2a{k_1}^2 = 0 \\ C_2:& (k_2+i)z+(k_2-i)\bar{z} -2a{k_2}^2 = 0\end{eqnarray}$$を満たす点$z$の集合とする。ここで、$i$は虚数単位、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $C_0, C_1, C_2$がいずれも直線であることを示せ。
$(2)$ $C_0$と$C_1$の共有点を$P_1$とし、$m$を変化させたとき$P_1$が動く曲線を$F_1$とする。$F_1$はどのような曲線か。$a$を用いて答えよ。
$(3)$ $m > 0$のとき、$C_1, C_2$と虚軸で囲まれる領域の面積を$T$とし、$(2)$の$F_1$と$C_1, C_2$、虚軸で囲まれる領域の面積を$S$とする。$\displaystyle \frac{T}{S}$が$a$によらず一定であることを示し、その極限値$\displaystyle \lim_{m\to\infty}{\frac{T}{S}}$を求めよ。

方針

$(1)$ 一般に複素数平面上の$2$点を通る直線は$$\bar{\alpha}z-\alpha \bar{z} + \beta = 0$$の形で表される。ここでは$(2)$以降も視野に入れて座標を導入する。

$(2)$ $x, y$の関係式を求める。

$(3)$ $(2)$の答えと、$C_1, C_2$のみ図に書くとわかりやすい。

解答

$(1)$ $x, y$を実数として、$z = x + yi$と置いて$C_0$の方程式に代入すると、$$\begin{eqnarray}(m+i)(x+yi) + (m-i)(x-yi)+2a & = & 0 \\ 2mx-2y+2a & = & 0\end{eqnarray}$$となるから、$C_0: y = mx+a$は直線になる。同様に$C_1$でも$$\begin{eqnarray}(k_1+i)(x+yi) + (k_1-i)(x-yi)-2a{k_1}^2 & = & 0 \\ 2k_1x-2y-2a{k_1}^2 & = & 0\end{eqnarray}$$となるから、$C_1: y = k_1x-a{k_1}^2$は直線になる。$C_2$も$C_2: y = k_2x-a{k_2}^2$で直線になる。

$(2)$ $(1)$から$C_0$と$C_1$の方程式を連立させると、$$\begin{eqnarray}mx +a & = & k_1x-a{k_1}^2\\ \sqrt{m^2+1}x & = & a({k_1}^2+1)\\ & = & a(1 + m^2+2m\sqrt{m^2+1}+m^2+1)\\ & = & 2a\sqrt{m^2+1}(m+\sqrt{m^2+1})\end{eqnarray}$$であるから、$x = 2a(m+\sqrt{m^2+1})$となる。これから、$$\begin{eqnarray}\sqrt{m^2+1} & = & \frac{x}{2a}-m\\ m^2+1 & = & \left(\frac{x}{2a}-m\right)^2, \ \ \frac{x}{2a}-m \geq 0 \\ 1 & = & \frac{x^2}{4a^2}-\frac{mx}{a}\\ mx & = & \frac{x^2}{4a}-a\end{eqnarray}$$となる。$C_0: y = mx+a$に代入して、$\displaystyle \underline{y = \frac{x^2}{4a}}$である。これは放物線となる。また、$$\begin{eqnarray}x & = & 2a(m+\sqrt{m^2+1})\\ & = & 2a\frac{1}{\sqrt{m^2+1}-m} > 0\end{eqnarray}$$であるから、$\underline{x > 0}$の部分となる。

$(3)$ まず$C_1$と$C_2$の共有点を求める。$(1)$から$C_1$と$C_2$の方程式を連立させると、$$\begin{eqnarray}k_1x-a{k_1}^2 & = & k_2x-a{k_2}^2\\ (k_1-k_2)x & = & a(k_1+k_2)(k_1-k_2)\\ x & = & a(k_1+k_2)\\ & = & 2am\end{eqnarray}$$である。$C_1$の虚軸との切片は$C_1$の方程式で$x = 0$として$-a{k_1}^2$で、$C_2$の虚軸との切片は$C_2$の方程式で$x = 0$として$-a{k_2}^2$となる。したがって、$T$は$$\begin{eqnarray}T & = & 2am\cdot |-a{k_1}^2+a{k_2}^2| \\& = & 2a^2m\cdot ({k_1}^2-{k_2}^2) \\ & = & 2a^2m\cdot 2m\sqrt{m^2+1}\\ & = & 4a^2m^2\sqrt{m^2+1}\end{eqnarray}$$である。一方下の図から$$\begin{eqnarray}S + T & = & \int_{0}^{2ak_1}{\left(\frac{x^2}{4a}-(k_1x-a{k_1}^2)\right)dx}\\ & = & \frac{1}{4a}\int_{0}^{2ak_1}{(x^2-4ak_1x+4a^2{k_1}^2)dx}\\ & = & \frac{1}{4a}\int_{0}^{2ak_1}{(x-2ak_1)^2dx}\\ & = & \frac{1}{4a}\left[\frac{(x-2ak_1)^3}{3}\right]_{0}^{2ak_1}\\ & = & \frac{1}{4a}\cdot \frac{8a^3{k_1}^3}{3}\\ & = & \frac{2a^2{k_1}^3}{3}\\ & = & \frac{2a^2}{3}(m+\sqrt{m^2+1})^3\end{eqnarray}$$である。

したがって、$$\begin{eqnarray}\frac{S+T}{T} & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{(m+\sqrt{m^2+1})^2}{m^2\sqrt{m^2+1}} \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\right)^3}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}\\ & \to & \frac{4}{3}\ \ (m\to\infty)\end{eqnarray}$$となる。これから、$\displaystyle \underline{\lim_{m\to\infty}{\frac{T}{S}} = 3}$である。

解説

$(1)$ 複素数平面上の$2$点$\alpha, \beta$を通る直線を考えると、$\displaystyle \frac{z-\beta}{z-\alpha}$は実数であるから、$$\begin{eqnarray}\frac{z-\beta}{z-\alpha} & = & \overline{\frac{z-\beta}{z-\alpha}}\\ \iff (z-\beta)(\bar{z}-\bar{\alpha}) & = & (\bar{z}-\bar{\beta})(z-\alpha)\\ \iff -z\bar{\alpha}-\beta\bar{z}+\bar{\alpha}\beta & = & -\alpha\bar{z}-\bar{\beta}z+\alpha\bar{\beta}\end{eqnarray}$$ となる。これから、$$(-\bar{\alpha}+\bar{\beta})z – (-\alpha+\beta)\bar{z}+\bar{\alpha}\beta-\alpha\bar{\beta} = 0$$である。したがって、改めて書き直すと一般に複素数平面上の直線は$$\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z} + \beta = 0$$の形で表される。ただし、解答ではこの知識を用いていない。

$(2)$ $x, y$の関係を求めるので、$m$を消去する。

$(3)$ $m$で表すよりも$k_1$を用いて計算を進めた方が楽になる。全体を通じて、複素数平面とは名ばかりで、座標の問題として考えるのがやりやすい。