[math]2019年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

$n$を$2$以上の自然数とし、ひとつのサイコロを$n$回くり返し投げるとする。$n$以下の自然数$k$について、$k$回目に$1$から$4$の目が出たら$a_k = 1$、$5$または$6$の目が出たら$a_k = 0$として、数列$\{a_n\}$を定義する。さらに数列$\{b_n\}$を、$b_1 = 0$、$2$以上$n$以下の自然数$k$について$b_k = (a_k+a_{k-1})(2-a_k-a_{k-1})$と定義する。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $k$を$2$以上$n$以下の自然数とする。$b_k = 0$となる確率を求めよ。
$(2)$ $b_2 = b_3 = \cdots = b_n = 1$となる確率を$n$を用いて表わせ。
$(3)$ $n$が$5$以上のとき、$\displaystyle S_n = \frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{2^2}+\cdots + \frac{b_n}{2^{n-1}}$とおく。このとき$\displaystyle \frac{5}{8}\leq S_n<\frac{15}{16}$となる確率を求めよ。

方針

$(1)$ $b_k = 0$となるのは$a_{k} + a_{k-1} = 0$または$a_{k-1}+a_{k} = 2$となるときである。

$(2)$ $(a_{k-1}, a_k)$の値に対して$b_k$がどのような値を取るのか考える。

$(3)$ 二進法で$\displaystyle \frac{5}{8}$を表すと、$$\begin{eqnarray}\frac{5}{8} & = & \frac{1}{2} + \frac{1}{8}\\ & = & [0.101]_{2}\end{eqnarray}$$であり、$\displaystyle \frac{15}{16}$は$$\begin{eqnarray}\frac{15}{16} & = & \frac{1}{2} + \frac{7}{16}\\ & = & \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} \\ & = & \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\\ & = & [0.1111]_{2}\end{eqnarray}$$となる。

解答

$(1)$ $b_k = 0$となるとき、$a_k+a_{k-1} = 0$または$a_k+a_{k-1}= 2$である。$a_k+a_{k-1} = 0$のとき、$k-1$回目に$5$または$6$の目が出て、かつ$k$回目に$5$または$6$の目が出れば良い。この確率は$\displaystyle \frac{2}{6}\cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{9}$である。また、$a_k+a_{k-1}=2$のとき、$k-1$回目で$1$から$4$の目が出て、かつ$k$回目で$1$から$4$の目が出れば良い。この確率は$\displaystyle \frac{4}{6}\cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{9}$である。この二事象は互いに排反であるから、求める確率は$\displaystyle \frac{1}{9}+\frac{4}{9} = \underline{\frac{5}{9}}$となる。

$(2)$ $a_{k-1}, a_k$の値に対して、$b_k$の値は以下のようになる。$$\begin{eqnarray}(a_{k-1}, a_k) = (0, 0) & \to & b_k = 0\\ (a_{k-1}, a_k) = (0, 1), (1, 0) & \to & b_k = 1\\ (a_{k-1}, a_k) = (1, 1) & \to & 0\end{eqnarray}$$したがって、$a_{k-1}$か$a_k$のどちらかが$0$でどちらかが$1$のとき$b_k = 1$となる。これは$a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 1, a_4 = 0, \cdots, $となる場合と、$a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 0, a_4 = 1, \cdots, $となる場合がある。前者の確率は$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdots = \frac{2^{\left[\frac{n+1}{2}\right]}}{3^n}$、後者の確率は$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdots = \frac{2^{\left[\frac{n}{2}\right]}}{3^n}$となる。求める確率は、$\displaystyle \underline{\frac{2^{\left[\frac{n+1}{2}\right]}+2^{\left[\frac{n}{2}\right]}}{3^n}}$である。ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す。

$(3)$ $\displaystyle \frac{5}{8} = [0.101]_{2}, \frac{15}{16} = [0.1111]_{2}$である。$b_k$は$0$か$1$のみの値を取るから、$\displaystyle \frac{5}{8}\leq S_n< \frac{15}{16}$となるのは以下の場合である。
$(i)$ $b_2 = 1, b_3 = 0, b_4 = 1$かつ$b_5$以降は何が出ても良い場合
$(ii)$ $b_2 = 1, b_3 = 1, b_4 = 0$かつ$b_5$以降は何が出ても良い場合
$(iii)$ $b_2 = 1, b_3 = 1, b_4 = 1, b_5 = 0$かつ$b_6$以降は何が出ても良い場合
のいずれかになる。

$(i)$の場合、$b_2 = 1, b_3 = 0, b_4 = 1$となるのは、$a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 0$か$a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 0, a_4 = 1$である。前者の確率は$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{81}$であり、後者の確率は$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{81}$である。したがって、$(i)$の場合の確率は$\displaystyle \frac{8}{81}$である。

$(ii)$の場合、$b_2 = 1, b_3 = 1, b_4 = 0$となるのは、$a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 0, a_4 = 0$か$a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 1, a_4 = 1$である。前者の確率は$\displaystyle \frac{2}{81}$であり、後者の確率は$\displaystyle \frac{8}{81}$である。したがって、$(ii)$の場合の確率は$\displaystyle \frac{10}{81}$である。

$(iii)$の場合、$b_2 = 1, b_3 = 1, b_4 = 1, b_5 = 0$となるのは、$a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 0, a_4 = 1, a_5 = 1$か$a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 1, a_4 = 0, a_5 = 0$である。前者の確率は$\displaystyle \frac{8}{243}$であり、後者の確率は$\displaystyle \frac{4}{243}$である。したがって、$(iii)$の場合の確率は$\displaystyle \frac{12}{243} = \frac{4}{81}$である。

以上から、求める確率は$\displaystyle \frac{8+10+4}{81} = \underline{\frac{22}{81}}$となる。