[math]2019年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

$n$ を $2$ 以上の自然数とし、ひとつのサイコロを $n$ 回くり返し投げるとする。 $n$ 以下の自然数 $k$ について、 $k$ 回目に $1$ から $4$ の目が出たら $a_{k} = 1$ 、 $5$ または $6$ の目が出たら $a_{k} = 0$ として、数列 ${a_{n}}$ を定義する。さらに数列 ${b_{n}}$ を、 $b_{1} = 0$ 、 $2$ 以上 $n$ 以下の自然数 $k$ について $b_{k} = (a_{k} + a_{k - 1}) (2 - a_{k} - a_{k - 1})$ と定義する。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $k$ を $2$ 以上 $n$ 以下の自然数とする。 $b_{k} = 0$ となる確率を求めよ。
$(2)$ $b_{2} = b_{3} = \dots = b_{n} = 1$ となる確率を $n$ を用いて表わせ。
$(3)$ $n$ が $5$ 以上のとき、 $S_{n} = \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{2^{n - 1}}$ とおく。このとき $\frac{5}{8} \leq S_{n} < \frac{15}{16}$ となる確率を求めよ。

方針

$(1)$ $b_{k} = 0$ となるのは $a_{k} + a_{k - 1} = 0$ または $a_{k - 1} + a_{k} = 2$ となるときである。

$(2)$ $(a_{k - 1}, a_{k})$ の値に対して $b_{k}$ がどのような値を取るのか考える。

$(3)$ 二進法で $\frac{5}{8}$ を表すと、 $\begin{array}{rcl} \frac{5}{8} & = & \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \\ = & [0.101]_{2} \end{array}$ であり、 $\frac{15}{16}$ は $\begin{array}{rcl} \frac{15}{16} & = & \frac{1}{2} + \frac{7}{16} \\ = & \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} \\ = & \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \\ = & [0.1111]_{2} \end{array}$ となる。

解答

$(1)$ $b_{k} = 0$ となるとき、 $a_{k} + a_{k - 1} = 0$ または $a_{k} + a_{k - 1} = 2$ である。 $a_{k} + a_{k - 1} = 0$ のとき、 $k - 1$ 回目に $5$ または $6$ の目が出て、かつ $k$ 回目に $5$ または $6$ の目が出れば良い。この確率は $\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{9}$ である。また、 $a_{k} + a_{k - 1} = 2$ のとき、 $k - 1$ 回目で $1$ から $4$ の目が出て、かつ $k$ 回目で $1$ から $4$ の目が出れば良い。この確率は $\frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{9}$ である。この二事象は互いに排反であるから、求める確率は $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \underset{―}{\frac{5}{9}}$ となる。

$(2)$ $a_{k - 1}, a_{k}$ の値に対して、 $b_{k}$ の値は以下のようになる。 $\begin{array}{rcl} (a_{k - 1}, a_{k}) = (0, 0) & \to & b_{k} = 0 \\ (a_{k - 1}, a_{k}) = (0, 1), (1, 0) & \to & b_{k} = 1 \\ (a_{k - 1}, a_{k}) = (1, 1) & \to & 0 \end{array}$ したがって、 $a_{k - 1}$ か $a_{k}$ のどちらかが $0$ でどちらかが $1$ のとき $b_{k} = 1$ となる。これは $a_{1} = 1, a_{2} = 0, a_{3} = 1, a_{4} = 0, \dots,$ となる場合と、 $a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 0, a_{4} = 1, \dots,$ となる場合がある。前者の確率は $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \dots = \frac{2^{[\frac{n + 1}{2}]}}{3^{n}}$ 、後者の確率は $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \dots = \frac{2^{[\frac{n}{2}]}}{3^{n}}$ となる。求める確率は、 $\underset{―}{\frac{2^{[\frac{n + 1}{2}]} + 2^{[\frac{n}{2}]}}{3^{n}}}$ である。ただし、 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

$(3)$ $\frac{5}{8} = [0.101]_{2}, \frac{15}{16} = [0.1111]_{2}$ である。 $b_{k}$ は $0$ か $1$ のみの値を取るから、 $\frac{5}{8} \leq S_{n} < \frac{15}{16}$ となるのは以下の場合である。
$(i)$ $b_{2} = 1, b_{3} = 0, b_{4} = 1$ かつ $b_{5}$ 以降は何が出ても良い場合
$(i i)$ $b_{2} = 1, b_{3} = 1, b_{4} = 0$ かつ $b_{5}$ 以降は何が出ても良い場合
$(i i i)$ $b_{2} = 1, b_{3} = 1, b_{4} = 1, b_{5} = 0$ かつ $b_{6}$ 以降は何が出ても良い場合
のいずれかになる。

$(i)$ の場合、 $b_{2} = 1, b_{3} = 0, b_{4} = 1$ となるのは、 $a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 1, a_{4} = 0$ か $a_{1} = 1, a_{2} = 0, a_{3} = 0, a_{4} = 1$ である。前者の確率は $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{81}$ であり、後者の確率は $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{81}$ である。したがって、 $(i)$ の場合の確率は $\frac{8}{81}$ である。

$(i i)$ の場合、 $b_{2} = 1, b_{3} = 1, b_{4} = 0$ となるのは、 $a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 0, a_{4} = 0$ か $a_{1} = 1, a_{2} = 0, a_{3} = 1, a_{4} = 1$ である。前者の確率は $\frac{2}{81}$ であり、後者の確率は $\frac{8}{81}$ である。したがって、 $(i i)$ の場合の確率は $\frac{10}{81}$ である。

$(i i i)$ の場合、 $b_{2} = 1, b_{3} = 1, b_{4} = 1, b_{5} = 0$ となるのは、 $a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 0, a_{4} = 1, a_{5} = 1$ か $a_{1} = 1, a_{2} = 0, a_{3} = 1, a_{4} = 0, a_{5} = 0$ である。前者の確率は $\frac{8}{243}$ であり、後者の確率は $\frac{4}{243}$ である。したがって、 $(i i i)$ の場合の確率は $\frac{12}{243} = \frac{4}{81}$ である。