[math]2019年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

三角形$ABC$において、頂点$A, B, C$の角の大きさをそれぞれ$A, B, C$、対辺の長さをそれぞれ$a, b, c$で表す。また$a, b, c$は、この順で正または$0$の公差をもつ等差数列をなす。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $\displaystyle C = \frac{2\pi}{3}$のとき、$\cos{A}$の値を求めよ。
$(2)$ $C = 2A$のとき、$\cos{A}$の値を求めよ。
$(3)$ $\displaystyle C = A + \frac{\pi}{3}$のとき、$\cos{A}$の値を求めよ。

方針

色々な方法があるが、ここでは確実に解答に至る方法を選択したい。等差数列の条件から$b-a = c-b$である。これから$1$文字消去できると考え、$2$変数の問題にする。ただし、$(3)$は難しく、一筋縄ではいかない。

解答

$a, b, c$が等差数列をなす条件から、$b-a = c-b\ (\geq 0)$である。したがって、$2b = a+c$である。両辺を$b$で割って、$\displaystyle \frac{a}{b} = x, \frac{c}{b} = y$とすると、$$x + y = 2 \tag{a}\label{a}$$である。ただし、$\displaystyle x\leq 1, y\geq 1$である。

$(1)$ $\displaystyle C = \frac{2\pi}{3}$であるから、$$\begin{eqnarray}\cos{C} & = & -\frac{1}{2} \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$である。余弦定理から、$$\begin{eqnarray}\cos{C} & = & \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\ & = & \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}-\frac{c^2}{ab}\right)\\ & = & \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x}-\frac{c}{b}\cdot \frac{c}{a}\right)\\ & = & \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x}-\frac{y^2}{x}\right) \tag{c}\label{c}\end{eqnarray}$$である。\eqref{b}, \eqref{c}から$$-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x}-\frac{y^2}{x}\right)$$である。整理すると、$$x^2+x-y^2+1 = 0 \tag{d}\label{d}$$となる。\eqref{a}を\eqref{d}に代入すると、$$x^2+x-(2-x)^2+1 = 0$$となり、これから$\displaystyle x = \frac{3}{5}$となる。したがって、\eqref{a}から$\displaystyle y = \frac{7}{5}$となる。以上より、$$\begin{eqnarray}\cos{A} & = & \frac{1}{2}\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{bc}\\ & = & \frac{1}{2}\left(\frac{c}{b} + \frac{c}{b}-\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{c}\right)\\ & = & \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y} + y-\frac{x^2}{y}\right) \tag{e}\label{e}\\ & = & \underline{\frac{13}{14}}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $C = 2A$のとき、$$\begin{eqnarray}\cos{C} & = & \cos{2A}\\ & = & 2\cos^2{A}-1\end{eqnarray}$$である。\eqref{c}, \eqref{e}から$$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x} -\frac{y^2}{x}\right) & = & 2\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+y-\frac{x^2}{y}\right)^2-1\\ \iff \frac{x^2+1-y^2}{x} & = & \frac{(1+y^2-x^2)^2}{y^2}-2\\ \iff \frac{(x+y)(x-y)+1}{x} & = & \frac{(1+(y-x)(y+x))^2}{y^2}-2 \tag{f}\label{f}\end{eqnarray}$$となるが、ここで\eqref{a}より\eqref{f}は$$\begin{eqnarray}\iff \frac{2(x-y)+1}{x} & = & \frac{(1+2(y-x))^2}{y^2}-2\\ \iff (2-x)^2(2x-2(2-x)+1) & = & x (1+2(2-x)-2x)^2-2x(2-x)^2\\ \iff (x^2-4x+4)(4x-3) & = & x(-4x+5)^2-2x(2-x)^2 \\\iff 4x^3-12x^2-16x^2+12x+16x-12 & = & 16x^3-40x^2+25x-2x-3+8x^2-8x \\ \iff 10x^3-13x^2+11x-12 & = & 0 \\ \iff (x+1)(2x-3)(5x-4) & = & 0 \end{eqnarray}$$である。したがって、\eqref{a}から$\displaystyle (x, y) = \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right), \left(\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$となる。$x, y$に関する条件から、$\displaystyle (x, y) = \left(\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$である。このとき、\eqref{e}から$\displaystyle \underline{\cos{A} = \frac{3}{4}}$となる。

$(3)$ \eqref{a}, \eqref{e}から$$\begin{eqnarray}\cos{A} & = & \frac{y^2-x^2+1}{2y}\\ & = & \frac{(y+x)(y-x)+1}{2y}\\ & = & \frac{-2x+2y+1}{2y}\\ & = & \frac{-4x+5}{2y} \tag{g}\label{g}\end{eqnarray}$$であり、\eqref{a}, \eqref{c}から$$\begin{eqnarray}\cos{C} & = & \frac{x^2-y^2+1}{2x}\\ & = & \frac{(x+y)(x-y)+1}{2x}\\ & = & \frac{2x-2y+1}{2x} & = & \frac{4x-3}{2x} \tag{h}\label{h}\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle C = A + \frac{\pi}{3}$のとき、$$\begin{eqnarray}\cos{C} & = & \cos{\left(A +\frac{\pi}{3}\right)}\\ & = & \frac{1}{2}\cos{A}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{A}\\ \iff \sqrt{3}\sin{A} & = & \cos{A}-2\cos{C}\end{eqnarray}$$である。両辺を二乗して、$$3(1-\cos^2{A}) = \left(\cos{A}-2\cos{C}\right)^2$$である。\eqref{g}, \eqref{h}から、$$\begin{eqnarray}3\left(1-\frac{(-4x+5)^2}{4y^2}\right) & = & \left(\frac{(-4x+5)}{2y}-\frac{4x-3}{x}\right)^2 \\ \iff 3x^2(4(2-x)^2-(-4x+5)^2) & = & (x(-4x+5)-2(2-x)(4x-3))^2 \\ \iff 3x^2(2(2-x)+(-4x+5))(2(2-x)-(-4x+5)) & = & (-4x^2+5x-2(-4x^2+11x-6))^2 \\ \iff 3x^2(-6x+9)(2x-1) & = & (4x^2-17x+12)^2\\ \iff 3x^2(-12x^2+24x-9) & = & 16x^4+289x^2+144-136x^3-408x+96x^2\end{eqnarray}$$である。さらに変形して、$$\begin{eqnarray}52x^4-208x^3+412x^2-408x+144 & = & 0 \\ 13x^4-52x^3+103x^2-102x+36 & = & 0\tag{i}\label{i}\end{eqnarray}$$となる。これが整数係数で因数分解できるとして、$$(13x^2+px+q)(x^2+rx+s) = 0$$と置く。ただし、$p, q, r, s$は整数である。展開すると、$$13x^4 + (p+13r)x^3 + (pr+q+13s)x^2+(ps+qr)x + qs = 0$$である。\eqref{i}と比較して、$$\begin{cases}p + 13r = -52\\ pr + q+13s = 103\\ ps+qr = -102\\ qs = 36\end{cases}$$である。これを満たす$p, q, r, s$の組として$p = -26, q = 12, r = -2, s = 3$がある。したがって、\eqref{i}は$$(13x^2-26x+12)(x^2-2x+3) = 0$$となる。$\displaystyle x^2-2x+3 = (x-1)^2 + 2 > 0$であるから、$13x^2-26x+12 = 0$を解くと$\displaystyle x = 1\pm\frac{1}{\sqrt{13}}$となるが、$x < 1$なので$\displaystyle x = 1-\frac{1}{\sqrt{13}}$である。\eqref{a}から$\displaystyle y = 1+\frac{1}{\sqrt{13}}$となり、\eqref{g}から$$\begin{eqnarray}\cos{A} & = & \frac{-4x+5}{2y}\\ & = & \frac{4+\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{2(\sqrt{13}+1)}\\ & = & \frac{(4+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}{2\cdot 12}\\ & = & \underline{\frac{3+\sqrt{13}}{8}}\end{eqnarray}$$となる。

解説

いろいろな方法が考えられるが、$(1), (2)$はある程度決まった方法で解決するだろう。ただし、$(3)$は試行錯誤が必要で、あらぬ方向に行くと試験時間内に解ききることは難しいだろう。正弦定理を用いる解法でも、$(1), (2)$は比較的スムーズに行くが、$(3)$では三角関数の巧みな変形が必要になる。なお、$a = p-q, b = p, c = p+q$などと設定すると、$\cos{A}, \cos{C}$が対称的な形になり、$(3)$がスムーズに進むが、思いつきにくいだろう。重要なのは、ある程度時間がかかっても、解答のように（あるいは三角関数の変形でも良いが）確実に進められると思える方針を選択することである。

$(3)$の\eqref{i}に関しては、整数係数で因数分解が可能であるので助かるが、そうでなかった場合この方針ではお手上げになる。$p, q, r, s$も\eqref{i}が出た段階で諦めてしまった受験生もいたことだろう。整数範囲で因数分解できるはずと考えて、調べるしかない。

なお、余弦定理の証明については以下の記事を参照されたい。