[math]2014年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し、$xyz$空間内の$4$点$A(\cos{\theta}, \cos{\theta}, \sin{\theta}), B(-\cos{\theta}, -\cos{\theta}, \sin{\theta}), C(\cos{\theta}, -\cos{\theta}, -\sin{\theta}), D(-\cos{\theta}, \cos{\theta}, -\sin{\theta})$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta)$、この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta)$とする。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right), V\left(\frac{\pi}{6}\right)$を求めよ。
$(2)$ $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ。
$(3)$ $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ。

方針

四面体は等面四面体になる。

解答

題意の四面体はすべての面が等しい四面体なので、等面四面体になる。三角形$ABC$について、$$\begin{eqnarray}AB & = & 2\sqrt{2}\cos{\theta}\\ BC & = & 2 \\ CA & = & 2\end{eqnarray}$$である。下図のように横$a$、縦$b$、高さ$c$の直方体に四面体を埋め込むと、$$\begin{eqnarray}a^2+b^2 & = & 8\cos^2{\theta}\\ b^2+c^2 & = & 4\\ c^2+a^2 & = &4\end{eqnarray}$$である。

すべて足すと、$a^2+b^2+c^2 = 4(1+\cos^2{\theta})$である。これから順次計算して、$\displaystyle a = 2\cos{\theta}, b = 2\cos{\theta}, c = 2\sin{\theta}$である。$V(\theta)$は直方体から$4$つの四面体を除いた残りであるから、$\displaystyle V(\theta) = abc-\frac{abc}{6}\cdot 4 = \frac{abc}{3} = \underline{\frac{8\cos^2{\theta}\sin{\theta}}{3}}$である。

等面四面体は直方体の一番手前の点から三本の対角線を引き、作っていくとわかりやすい。

また、$S(\theta)$は下図のひし形の面積で、$\displaystyle S(\theta) = 2\cos{\theta}\cdot 2\sin{\theta}-\frac{1}{2}\cos{\theta}\cdot \sin{\theta}\cdot 4 = 2\sin{\theta}\cos{\theta} = \underline{\sin{2\theta}}$である。

$(1)$ $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$のとき、$\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right) = \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}, V\left(\frac{\pi}{3}\right) = \underline{1}$である。

$(2)$ $\theta = \frac{\pi}{4}$のときに$S(\theta)=1$となり、これが最大値になる。

$(3)$ $\sin{\theta} = x \ (0<x<1)$とすると、$\displaystyle V(\theta) = \frac{8}{3}x(1-x^2)$である。$f(x) = x(1-x^2)$とすると、$f^{\prime}(x) = 1-3x^2$であるから、$\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{3}}$のときに$V(\theta)$は最大値$\displaystyle \frac{8}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3}\right) = \underline{\frac{16\sqrt{3}}{27}}$をとる。

解説

解答では等面四面体の知識を活用している。この四面体について、難関大学では「知っていて当然」と考えている節がある。知らずに悔しい思いをするよりは、身につけてしまったほうが良いだろう。過去に何回かこのサイトでも取り上げているので、参考にすると良い。

解答中で、$a, b, c$を計算するところでまずすべての式を足して$2(a^2+b^2+c^2)$の値を求めてから計算すると計算ミスを減らすことができる。つまり、$a^2+b^2+c^2 = 4(1+\cos^2{\theta})$なので、$a^2$を求めるときには$b^2+c^2=4$を見て、$a^2=(a^2+b^2+c^2)-(b^2+c^2) = 4\cos^2{\theta}$となる。簡単な工夫であるが、余裕のない試験場ではこういったことも大切である。