[math]2015年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

実数$a, b$に対し、$f(x) = x^3-3ax+b$とおく。$-1\leq x\leq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $a > 0$のとき、$f(x)$の極値を$a, b$を用いて表わせ。
$(2)$ $b\geq 0$のとき、$M$を$a, b$を用いて表わせ。
$(3)$ $a, b$が実数全体を動くとき、$M$の取りうる値の範囲を求めよ。

方針

適当な平面にグラフを描き、見た目でどこが一番大きいかを調べると良い。

解答

$(1)$ $f^{\prime}(x) = 3x^2-3ax = 3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$である。$a < 1$のとき$\sqrt{a} < 1$で、$f(x)$の極値は$f(-\sqrt{a}) = \underline{2a^{\frac{3}{2}}+b}, f(\sqrt{a}) = \underline{-2a^{\frac{3}{2}} + b}$となる。$a\geq 1$のときは$-1\leq x\leq 1$に極値は存在しない。

$(2)$ $M$の候補は$|f(-1)| = |-1+3a+b|, |f(1)| = |1-3a+b|, |f(-\sqrt{a})| = |2a^{\frac{3}{2}}+b|, |f(\sqrt{a})| = |-2a^{\frac{3}{2}}+b|$である。ただし、後半の二つは$0\leq a\leq 1$のときである。$ac$平面上に$|-1+3a+b| = c, |1-3a+b| = c, |2a^{\frac{3}{2}}+b| =c, |-2a^{\frac{3}{2}}+b| = c$を描くと下の図のようになる。

一番大きい部分をたどったものが$M$となる。なお、$|1-3a+b|=c$と$2a^{\frac{3}{2}}+b = c$はこれを連立させて、$$\begin{eqnarray}1-3a & = & 2a^{\frac{3}{2}}\end{eqnarray}$$として、$\sqrt{a} = t$とすると、$$\begin{eqnarray}2t^3+3t^2-1 & = & 0\\ (t+1)(2t^2+t+1) & = & 0\\ (t+1)^2(2t-1) & = & 0\end{eqnarray}$$となり、$0 < t < 1$での解を求めて、$\displaystyle t = \frac{1}{2}$となる。すなわち、$\displaystyle a = \frac{1}{4}$である。また、$|-1+3a+b| = c$と$|2a^{\frac{3}{2}}+b| = c$は$(a, b) = (1, 2)$で接することに注意する。以上から、$b\geq 0$のとき$$ M = \begin{cases}\displaystyle 1-3a+b\ \ \left(a \leq \frac{1}{4}\right)\\ \displaystyle 2a^{\frac{3}{2}}+b\ \ \left(\frac{1}{4}\leq a \leq 1\right)\\ -1+3a+b\ \ \left(a\geq 1\right)\end{cases}$$となる。

$(3)$ $b\geq 0$のとき$M$が最小値を取るのは$\displaystyle a = \frac{1}{4}$のときで、このとき$\displaystyle M = -1+3a+b =\frac{1}{4}+b $である。したがって、$\displaystyle M\geq \frac{1}{4}$である。$b\leq 0$のとき、同じようにグラフを書くと、以下のようになる。

これから、$b\leq 0$のとき、$$ M = \begin{cases}\displaystyle 1-3a-b\ \ \left(a \leq \frac{1}{4}\right)\\ \displaystyle 2a^{\frac{3}{2}}-b\ \ \left(\frac{1}{4}\leq a \leq 1\right)\\ -1+3a-b\ \ \left(a\geq 1\right)\end{cases}$$となる。$M$が最小値を取るのは$\displaystyle a = \frac{1}{4}$のときで$\displaystyle M = \frac{3}{4}-b$である。したがって、$\displaystyle M \geq \frac{1}{4}$である。

以上から、$a, b$が実数全体を動くとき、$M$の取りうる範囲は$\displaystyle \underline{M \geq \frac{1}{4}}$となる。

解説

以下の問題とほとんど同一であり、参考にすると良い。

コツは、まず最初に候補となる値をざっと上げてしまってからそれをグラフに描き、その上で細かい場合分けを考慮するという点である。初めてからきれいに場合分けしてグラフを描こうとするとミスが起きる。グラフを描いてから、一番大きい部分をたどればそれが最大値になるし、一番小さい部分をたどれば最小値になる（試験場では太線などでわかりやすくすると良い）。一度グラフを描いてしまえば、「最大値の最小値」あるいは「最小値の最大値」などはすぐに求めることができるだろう。