[math][東京医科歯科大学][空間図形]2008年東京医科歯科大学数学問題1

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2022.09.17

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問題

座標空間内に$5$点$$P(0, 0, h), Q(t, 0, 0), R(0, t, 0), S(-t, 0, 0), T(0, -t, 0)$$をとる。ここで$t, h$は$0<t<1, h > 0$を満たす実数である。また点$A(1, 1, 0)$と点$Q$を結ぶ線分の長さは$PQ$の長さと等しいとする。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ 四角錐$PQRST$の表面積を$t$を用いて表わせ。
$(2)$ $h$を$t$を用いて表わせ。
$(3)$ $t$が$0<t<1$の範囲で変化するとき、四角錐$PQRST$の体積の最大値を求めよ。

方針

比較的簡単な立体図形の問題である。概形も把握しやすい。

解答

$(1)$ 四角形$QRST$は正方形で、その面積は$(\sqrt{2}t)^2 = 2t^2$である。側面の三角形の高さを$x$とすると、下図から$\displaystyle PQ = \sqrt{t^2+h^2}, QH = \frac{\sqrt{2}}{2}t$であるから、$$\begin{eqnarray}x & = & \sqrt{(t^2+h^2)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2}\\ & = & \sqrt{\frac{t^2}{2}+h^2}\end{eqnarray}$$である。

求める表面積は、$$\begin{eqnarray}2t^2+4\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}t\times \sqrt{\frac{t^2}{2}+h^2} & = & 2t^2+2t\sqrt{t^2+2h^2}\end{eqnarray}$$となる。与えられた条件から$AQ = PQ$となるので、$$\begin{eqnarray}\sqrt{(1-t)^2+1} & = & \sqrt{t^2+h^2}\\ t^2-2t+1+1 & = & t^2+h^2\\ -2t+2 & = & h^2\end{eqnarray}$$となるから、$0<t<1$に注意して、上の表面積の式に代入すると、$$\begin{eqnarray}2t^2+2t\sqrt{t^2+2h^2} & = & 2t^2+2t\sqrt{t^2-4t+4}\\ & = & 2t^2+2t|t-2|\\ & = & 2t^2+2t(2-t)\\ & = & 4t\end{eqnarray}$$である。よって、四角錐$PQRST$の表面積は$\underline{4t}$である。

$(2)$ $h > 0$であるから、$(1)$の過程から$\underline{h = \sqrt{-2t+2}}$となる。

$(3)$ 四角錐$PQRST$の体積を$V(t)$とすると、$$\begin{eqnarray}V(t) & = & 2t^2\times h\times \frac{1}{3}\\ & = & \frac{2}{3}t^2\sqrt{-2t+2}\\ & = & \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{-t^5+t^4}\end{eqnarray}$$となる。$f(t) = -t^5+t^4\ (0 < t < 1)$とすると、$f^{\prime}(t) = t^3(-5t+4)$となる。したがって、$\displaystyle t < \frac{4}{5}$で$f^{\prime}(t) > 0$、$\displaystyle t > \frac{4}{5}$で$f^{\prime}(t) < 0$であるから、$\displaystyle t = \frac{4}{5}$において$f(t)$は最大値をとる。その値は、$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\left(\frac{4}{5}\right)^2\sqrt{-\frac{4}{5}+1} = \underline{\frac{32\sqrt{10}}{375}}$となる。