[math][東京医科歯科大学][場合の数]2004年東京医科歯科大学数学問題2

Table of Contents

問題

関数 $g (x)$ および $f_{k} (x) (k = 1, 2, 3, \dots)$ を次のように定義する。 $\begin{array}{rcl} g (x) & = & {\begin{cases} \frac{2}{3} x^{3} - \frac{5}{3} x (| x | \leq 2) \\ x (| x | > 2) \end{cases} \\ f_{k} (x) & = & g (x - k) + k \end{array}$ 正の定数 $k, l$ に対し、整数の組を要素とする集合 $S_{k}$ および $T_{k, l}$ を次のように定義する。 $\begin{array}{rcl} S_{k} & = & {(m, n) | m, n は整数、 m \neq n, f_{k} (m) = n} \\ T_{k, l} & = & {(m, n) | m, n は整数, m \neq n, f_{l} (f_{k} (m)) = n} \end{array}$ このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $S_{k} = {(k - 1, k + 1), (k + 1, k - 1)}$ となることを示せ。
$(2)$ $T_{3, 4}$ を求めよ。
$(3)$ $T_{3, k} \neq S_{3} \cup S_{k}$ を満たす整数 $k$ を求めよ。
$(4)$ $T_{3, k} \neq T_{k, 3}$ を満たす整数 $k$ を求めよ。

方針

至極簡単な問題と感じた受験生と、とてつもない難問に感じた受験生に分かれるかもしれない。実験が大切で、具体的に紙に例を書いていけば少しずつ問題の構成が見えてくる。

解答

$(1)$ $| m - k | > 2$ のとき、 $\begin{array}{rcl} f_{k} (m) & = & g (m - k) + k \\ = & (m - k) + k \\ = & m \end{array}$ となるから、集合 $S_{k}$ の条件 $m \neq n$ から $| m - k | \leq 2$ しかありえない。 $m, k$ は整数であるから、 $m - k = - 2, - 1, 0, 1, 2$ のいずれかである。下の表から、 $\begin{array}{cc} m - k & g (m - k) & f_{k} (m) & m \\ - 2 & - 2 & - 2 + k & - 2 + k \\ - 1 & 1 & 1 + k & - 1 + k \\ 0 & 0 & k & k \\ 1 & - 1 & - 1 + k & 1 + k \\ 2 & 2 & 2 + k & 2 + k \end{array}$ 条件 $m \neq n$ を満たすのは $(m, n) = (k - 1, k + 1), (k + 1, k - 1)$ であることがわかる。以上より題意が示される。
$(2)$ $(1)$ から $f_{k} (m)$ は $k - 1$ と $k + 1$ を入れ替えることがわかる。したがって、 $f_{3} (m)$ は $2$ と $4$ を、 $f_{4} (m)$ は $3$ と $5$ を入れ替える。より厳密にいうと、 $f_{k} (m)$ は $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k - 1} . a_{k}, a_{k + 1}, \dots$ という整数の並びがあるとき、これを $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k + 1}, a_{k}, a_{k - 1}$ という並びに変換する。 $\begin{array}{r} 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{2}, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{4} による変換) \\ 1, 4, \underset{―}{5}, 2, \underset{―}{3}, 5, \dots \end{array}$ であるから、 $\underset{―}{T_{3, 4} = (2, 4), (3, 5), (4, 2), (5, 3)}$ である。

$(3)$ まず、 $S_{3} \cup S_{k} = {(2, 4), (4, 2), (k - 1, k + 1), (k + 1, k - 1)}$ である。 $\begin{array}{r} 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{2}, 5, 6, \dots \end{array}$ によって $2, 4$ が入れ替わる。したがって、 $k - 1 = 2$ か $k - 1 = 4$ か、あるいは $k + 1 = 2$ か $k + 1 = 4$ のときに限り、 $T_{3, k} \neq S_{3} \cup S_{k}$ となることがわかる。よって、 $\underset{―}{k = 1, 3, 5}$ である。

$(4)$ $(3)$ から $k = 1, 3, 5$ の可能性しかない。
$(i)$ $k = 1$ のとき、 $\begin{array}{r} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{2}, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{1} による変換) \\ \underset{―}{4}, 1, \underset{―}{0}, 3, 2, 5, 6, \dots \end{array}$ および $\begin{array}{r} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, \\ ↓ (f_{1} による変換) \\ \underset{―}{2}, 1, \underset{―}{0}, 3, 4, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 2, 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{0}, 5, 6, \dots \end{array}$ であるから、 $T_{3, 1} \neq T_{1, 3}$ である。
$(i i)$ $k = 3$ のとき、 $\begin{array}{r} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{2}, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{2}, 3, \underset{―}{4}, 5, 6, \dots \end{array}$ および $\begin{array}{r} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{2}, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{2}, 3, \underset{―}{4}, 5, 6, \dots \end{array}$ であるから、 $T_{3, 1} = T_{1, 3}$ である。
$(i i i)$ $k = 5$ のとき、 $\begin{array}{r} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{4}, 3, \underset{―}{2}, 5, 6, \dots \\ ↓ (f_{5} による変換) \\ 0, 1, 4, 3, \underset{―}{6}, 5, \underset{―}{2}, \dots \end{array}$ および $\begin{array}{r} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, \\ ↓ (f_{5} による変換) \\ 0, 1, 2, 3, \underset{―}{6}, 5, \underset{―}{4}, \dots \\ ↓ (f_{3} による変換) \\ 0, 1, \underset{―}{6}, 3, \underset{―}{2}, 5, 4, \dots \end{array}$ であるから、 $T_{3, 5} \neq T_{5, 3}$ である。

以上から、求める答えは $\underset{―}{k = 1, 5}$ である。

解説

$(1)$ まず問題の意味を掴むという流れで、 $| m - k | > 2$ のときは $g (x)$ の定義から $f_{k} (m) = m$ となるので、これは集合 $S_{k}$ に含まれない。すると $| m - k | \leq 2$ が必要となり、後は具体的に調べていけば良い。

$(2)$ $(1)$ から結局 $f_{k} (m)$ は $a_{1}, a_{2}, \dots, \underset{―}{a_{k - 1}}, a_{k}, \underset{―}{a_{k + 1}}, \dots$ という整数の並びを $a_{1}, a_{2}, \dots, \underset{―}{a_{k + 1}}, a_{k}, \underset{―}{a_{k - 1}}, \dots$ に変換する操作であることがわかる。その中で元の数字と元の数字と異なるもののペアが集合 $S_{k}$ に含まれる。ここでは $a_{k - 1}$ が $a_{k + 1}$ に変わっているので $(a_{k - 1}, a_{k + 1})$ が $S_{k}$ に含まれ、また $a_{k + 1}$ が $a_{k - 1}$ に変わっているので $(a_{k + 1}, a_{k - 1})$ も $S_{k}$ に含まれる。 $T_{k, l}$ はこの操作をもう一度繰り返したものになる。

$(3)$ 問題の構造が把握できていれば、 $k - 1$ か $k + 1$ が $2, 4$ のどれかになるので、 $T_{3, 4} = S_{3} \cup S_{k}$ となることがわかる。したがって、 $k = 1, 3, 5$ となる。

$(4)$ $(3)$ から $k = 1, 3, 5$ しかないが、 $k = 3$ の場合は $T_{3, 3} = T_{3, 3}$ なので除いて考える。

この問題は大学で学ぶ群の互換性をテーマにしている。たとえば操作 $f_{3}$ を施してから次に $f_{4}$ を施したとき、 $f_{4} (f_{3} (m)) \neq f_{3} (f_{4} (m))$ となっている。操作の順番が問題になるというわけである。例eえばある整数に $3$ を掛けてから $4$ を掛けても、 $4$ を掛けてから $3$ を掛けても結果は同じ数字になるが変換 $f_{k} (m)$ では順番が違うと結果が異なる。代数学の基礎の部分をテーマにした問題ということになる。