[math][東京医科歯科大学][行列]2003年東京医科歯科大学数学問題2

問題
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問題

$M$を逆行列を持つ$2$次の正方行列とする。数列$\{x_n\}, \{y_n\}$を$\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x_n\\ y_n\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}x_{n-1}\\ y_{n-1}\end{pmatrix}\ \ (n = 1, 2, 3, \cdots)$によって定義し、$(x_n, y_n)$を座標とする平面上の点を$P_n$とする。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $P_1$が$P_0$と異なるとき、すべての自然数$n$に対して$P_n$は$P_{n-1}$と異なることを示せ。
$(2)$ 定数$\theta$を用いて$(x_1, y_1) = (\cos{\theta}, \sin{\theta}), (x_2, y_2) = (\cos{2\theta}, \sin{2\theta})$と表されているとき、すべての自然数$n$に対して$$(x_n, y_n) = (\cos{n\theta}, \sin{n\theta})$$となることを示せ。
$(3)$ $\displaystyle A(1, 0), B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$とし、$C, D, E, F$をそれぞれ$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}, & & \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{OE} = -\overrightarrow{OB}, & & \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OB} \end{eqnarray}$$を満たす点とする。ここで$O$は原点を表す。以下の条件$(a), (b), (c)$がすべて成立しているとき、行列$M$を求めよ。
$\ \ (a)$ すべての自然数$n$に対して、$P_n$は$A, B, C, D, E, F$のいずれかと一致する。
$\ \ (b)$ $P_1$は$B$と一致する。
$\ \ (c)$$P_6$は$A$とは異なる。

方針

医科歯科大学らしい、面倒な問題である。$(3)$は面倒であるが、やることは限られているので計算ミスのないようにする。

解答

$(1)$ $M$には逆行列が存在するので、与えられた漸化式から$$\begin{pmatrix}x_{n-1}\\ y_{n-1} \end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}x_n\\ y_n\end{pmatrix}\ \ (n = 1, 2, \cdots)$$である。ある自然数$n$で$P_{n}$と$P_{n-1}$が等しいとすると、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}x_{n-2}\\ y_{n-2}\end{pmatrix} & = & M^{-1}\begin{pmatrix}x_{n-1}\\ y_{n-1}\end{pmatrix}\\ & = & M^{-1}\begin{pmatrix}x_n\\ y_n\end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix}x_{n-1}\\ y_{n-1}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となる。したがって$P_{n-2}$も$P_{n-1}$と等しい。同様に、$P_{n-2} = P_{n-3} = \cdots = P_1 = P_0$となるが、これは$P_0$と$P_1$が異なるという前提に反する。よって、$P_0$と$P_1$が異なるとき、すべての自然数$n$に対して$P_n$は$P_{n-1}$とは異なる。

$(2)$ 与えられた条件から、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\cos{\theta}\\ \sin{\theta}\end{pmatrix} & = & M\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}\cos{2\theta}\\ \sin{2\theta}\end{pmatrix} & = & M\begin{pmatrix}\cos{\theta}\\ \sin{\theta}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$\begin{pmatrix}\cos{\theta} & \cos{2\theta}\\ \sin{\theta} & \sin{2\theta}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}1 & \cos{\theta}\\ 0 & \sin{\theta}\end{pmatrix}$$である。$\begin{pmatrix}1 & \cos{\theta} \\ 0 & \sin{\theta}\end{pmatrix}$の行列式は$\sin{\theta}$となる。
$\ \ (a)$ $\sin{\theta} = 0$のとき、$\cos{\theta} = \pm 1$で、整数$m$を用いて$\theta = m\pi$と置ける。最初の式から$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\pm 1 \\ 0\end{pmatrix} & = & M\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} & = & M\begin{pmatrix}\pm 1\\ 0\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$であるから、$P_n$は$\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix}$を交互に繰り返す。したがって、$(x_n, y_n) = (\cos{n\theta}, \sin{n\theta})\ \ (\theta = m\pi)$となり、題意が成り立つ。
$\ \ (b)$ $\sin{\theta} \ne 0$のとき、$$\begin{eqnarray}M & = & \begin{pmatrix}\cos{\theta} & \cos{2\theta}\\ \sin{\theta} & \sin{2\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \cos{\theta}\\ 0 & \sin{\theta}\end{pmatrix}^{-1}\\ & = & \frac{1}{\sin{\theta}}\begin{pmatrix}\cos{\theta} & \cos{2\theta}\\ \sin{\theta} & \sin{2\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin{\theta} & -\cos{\theta}\\ 0 & 1\end{pmatrix}\\ & = & \frac{1}{\sin{\theta}}\begin{pmatrix}\cos{\theta}\sin{\theta} & -\cos^2{\theta}+\cos{2\theta}\\ \sin^2{\theta} & -\sin{\theta}\cos{\theta}\sin{2\theta}\end{pmatrix}\\ & = & \frac{1}{\sin{\theta}}\begin{pmatrix}\cos{\theta}\sin{\theta} & -\sin^2{\theta}\\ \sin^2{\theta} & \sin{\theta}\cos{\theta}\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となる。この式で$\theta = m\pi$とすると、$(a)$のときも含むので併せて$\displaystyle M = \begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{pmatrix}$である。すると、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}x_n\\ y_n\end{pmatrix} & = & M^n\begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\cos{n\theta} & -\sin{n\theta}\\ \sin{n\theta} & \cos{n\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix}\cos{n\theta}\\ \sin{n\theta}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となり、題意が成り立つ。

$(3)$ 点$A, B, C, D, E, F$を座標平面上に置き、原点を$O$を中心とする正六角形の頂点とする。$P_0 = A, P_1 = B$で、$P_0 \ne P_1$だから$(1)$からすべての自然数$n$に対して$P_n \ne P_{n-1}$である。$P_2$が$A, B, C, D, E, F$のどれになるかで分けて考える。ただし、$P_1 = B$だから$P_2 = B$とはならないことに注意する。
$\ \ (a)$$P_2 = A$のとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{P_0} & = & \overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{P_1} & = & M\overrightarrow{\overrightarrow{OP_0}}\\ & = & M\overrightarrow{OA}\\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{P_2} & = & M\overrightarrow{OP_1}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & \overrightarrow{OA}\end{eqnarray}$$が前提条件になる。このとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP_3} & = & M\overrightarrow{OP_2}\\ & = & M\overrightarrow{OA}\\ & = &\overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_4} & = & M\overrightarrow{OP_3} \\ & = &M\overrightarrow{OB}\\ & = &\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{OP_5} & = & M\overrightarrow{OP_4}\\ & = & M\overrightarrow{OA} \\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_6} & = & M\overrightarrow{OP_5}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & \overrightarrow{OA}\end{eqnarray}$$となり、$P_6 = A$に反する。
$\ \ (b)$ $P_2 = C$のとき、$\overrightarrow{OP_1} = (\cos{60^\circ}, \sin{60^\circ}), \overrightarrow{OP_2} = (\cos{120^\circ}, \sin{^\circ})$と置けるので、$(2)$から$\overrightarrow{OP_6} = (\cos{360^\circ}, \sin{360^\circ}) = (1, 0)$となるが、これは$P_6\ne A$に反する。
$\ \ (c)$ $P_2 = D$のとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{P_0} & = & \overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{P_1} & = & M\overrightarrow{\overrightarrow{OP_0}}\\ & = & M\overrightarrow{OA}\\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{P_2} & = & M\overrightarrow{OP_1}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & \overrightarrow{OD}\\ & = & -\overrightarrow{OA}\end{eqnarray}$$が前提条件になる。このとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP_3} & = & M\overrightarrow{OP_2}\\ & = & -M\overrightarrow{OA}\\ & = &-\overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_4} & = & M\overrightarrow{OP_3} \\ & = & -M\overrightarrow{OB}\\ & = &-M\overrightarrow{OD}\\ & = & \overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{OP_5} & = & M\overrightarrow{OP_4}\\ & = & M\overrightarrow{OA} \\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_6} & = & M\overrightarrow{OP_5}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & \overrightarrow{OD}\\ & = & -\overrightarrow{OA}\end{eqnarray}$$となり、$P_n $は$n = 1, 2, \cdots$のとき$A, B, D, E$を繰り返し、$P_6 = A$であるから、条件$(a), (b), (c)$はすべて満たされる。$$\begin{eqnarray}M\overrightarrow{OA} & = & \overrightarrow{OB}\\ M\overrightarrow{OB} & = & -\overrightarrow{OA}\end{eqnarray}$$から$$\begin{eqnarray}M\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2}\\ 0 &\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -1\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}\\ \iff M & = & \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}^{-1}\\ & = & \frac{2}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ & = & \frac{2}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{4} & -\frac{5}{4}\\ \frac{3}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4}\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{5\sqrt{3}}{6}\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となる。
$\ \ (d)$$P_2 = E$のとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{P_0} & = & \overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{P_1} & = & M\overrightarrow{\overrightarrow{OP_0}}\\ & = & M\overrightarrow{OA}\\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{P_2} & = & M\overrightarrow{OP_1}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & \overrightarrow{OE} \\ & = & -\overrightarrow{OB}\end{eqnarray}$$が前提条件になる。このとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP_3} & = & M\overrightarrow{OP_2}\\ & = & -M\overrightarrow{OB}\\ & = &\overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_4} & = & M\overrightarrow{OP_3} \\ & = &M\overrightarrow{OB}\\ & = &-\overrightarrow{OB} \\ \overrightarrow{OP_5} & = & M\overrightarrow{OP_4}\\ & = & -M\overrightarrow{OB} \\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_6} & = & M\overrightarrow{OP_5}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & -\overrightarrow{OB}\end{eqnarray}$$となる。このとき、$\overrightarrow{OB} = M \overrightarrow{OA} = M \overrightarrow{OE}$であるから、$M^{-1}$を左から掛けると$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OE}$となるが、矛盾する。したがって、$P_2 = E$とはならない。
$\ \ (e)$$P_2 = F$のとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{P_0} & = & \overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{P_1} & = & M\overrightarrow{\overrightarrow{OP_0}}\\ & = & M\overrightarrow{OA}\\ & = & \overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{P_2} & = & M\overrightarrow{OP_1}\\ & = & M\overrightarrow{OB}\\ & = & \overrightarrow{OF} \\ & = & \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\end{eqnarray}$$が前提条件になる。このとき、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP_3} & = & M\overrightarrow{OP_2}\\ & = &M\overrightarrow{OA} -M\overrightarrow{OB}\\ & = &\overrightarrow{OB} -(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\\ & = & 2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\ & = & (0, \sqrt{3})\end{eqnarray}$$となる。これは$A, B, C, D, E, F$のどれとも異なる。

以上から、$\displaystyle \underline{M = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{5\sqrt{3}}{6}\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}}$が求める答えになる。

解説

$(1)$ 背理法で示す。

$(2)$ やってみると意外に難しい。どんな解法を取ったとしても$\sin{\theta}$が$0$かどうかで場合分けは生じるだろう。$\displaystyle M = \begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{pmatrix}$は回転行列と呼ばれるものである。この$n$乗が$\displaystyle M^n = \begin{pmatrix}\cos{n\theta} & -\sin{n\theta} \\ \sin{n\theta} & \cos{n\theta}\end{pmatrix}$であることの証明は帰納法によるが、入試では（証明せよという問題でない限りは）証明なしで用いても構わないだろう。

$(3)$ $P_2$がどの点になるかで場合分けを行う。場合分けのうち、$P_2 =C$となる場合では$(2)$が使える。その他の場合では地道に計算する。うまい方法を探して妙に考え込んでしまうと泥沼にハマりかねない。計算に一気に突き進むことができても行列の計算でどこかでミスをしてしまいそうである。ここら辺の年代の医科歯科大学の問題では妙に面倒な問題が出題されることが多かった。