[math][東京医科歯科大学][複素数平面]1999年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

以下の$(1), (2), (3)$のそれぞれについて、与えられた式を満たす複素数$z$の集合を複素数平面上に図示せよ。ただし$i$は虚数単位を表し、$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す。
$(1)$ $z^2+{\bar{z}}^2 = 0$
$(2)$ $\displaystyle \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2z^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2{\bar{z}}^2 = 0$
$(3)$ $3(1-\sqrt{3}i)z^2 + 3(1+\sqrt{3}i){\bar{z}}^2-20z\bar{z}+32 = 0$

方針

$(3)$ 頭を使わないといけない。

解答

$(1)$ $z = x+yi$とすると、$\bar{z} = x-yi$で、$$\begin{eqnarray}z^2+{\bar{z}}^2 & = & (x^2-y^2+2xyi) + (x^2-y^2-2xyi)\\ & = & 2(x^2-y^2)\\ & = & 0\end{eqnarray}$$となる。したがって$|x| = |y|$で、これを図示すると以下の図のようになる。

$(2)$ $\displaystyle p = \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)z$とすると、$\displaystyle \bar{p} = \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\bar{z}$である。与えられた式は$$p^2+{\bar{p}}^2 = 0$$となる。これは$p = X+Yi$としたとき、$(1)$から$X= Y$であることが分かっている。したがって、$\displaystyle z = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}p$と変形すると、$z$の動く図形は$(1)$の直線を原点を中心に$60^\circ$回転させたものであるから、図示すると以下の図のようになる。

$(3)$ $\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{2} = \cos{(-60^\circ)}+i\sin{(-60^\circ)}$に着目して、$\alpha = \cos{(-30^\circ)}+i\sin{(-30^\circ)}$とすると、$\alpha$は$-30^\circ$回転の複素数である。$\alpha z = q$とすると、$z = \bar{\alpha}q$であるから、$z$は$q$の動く範囲を原点を中心として$30^\circ$回転させた図形になる。また、$$\begin{eqnarray}\alpha & = & \frac{\sqrt{3}-i}{2}\\ {\alpha}^2 & = & \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\\ \bar{\alpha} & = & \frac{\sqrt{3}+i}{2}\\ {\bar{\alpha}}^2 & = & \frac{1+\sqrt{3}i}{2}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$\begin{eqnarray}3(1-\sqrt{3}i)z^2+3+(1+\sqrt{3}i){\bar{z}}^2-20z\bar{z}+32 & = & 6{\alpha}^2z^2+6{\bar{\alpha}}^2{\bar{z}}^2-20\alpha z\bar{\alpha}\bar{z} + 32 \ \ (\alpha\bar{\alpha} = 1)\\ & = & 6q^2+6{\bar{q}}^2-20q\bar{q}+32 \\ & = & 0\end{eqnarray}$$である。整理して、$$3q^2+3{\bar{q}}^2-10q\bar{q}+16 = 0$$である。$q = x+yi$とすると、この式は$$\begin{eqnarray}3(x^2-y^2+2xyi)+3(x^2-y^2-2xyi)-10(x^2+y^2)+16 & = & 0\\ \frac{x^2}{4}+y^2 & = & 1\end{eqnarray}$$となる。これは楕円であり、この楕円を原点を中心として$30^\circ$回転させた$z$の動く領域を図示すると、以下の図のようになる。

解説

$(1)$ $z = x+yi$と具体的に置いてしまうのが一番簡単だろう。$x^2 = y^2$という条件が出てくるが、グラフを書く時は注意しないといけない。また、グラフの軸の名称を$x, y$と書いてはいけない。「実軸、虚軸」あるいは$Re z, Imz$ときちんと書く。

$(2)$ $(1)$を利用する。そのまま$z = x+yi$と代入しても十分解決する。

$(3)$ 今度は$(2)$のようにそのまま代入してはうまくいかない。二乗して$\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$になる複素数を設定する。ちなみにそのまま$z = x+yi$と代入して解こうとすると、$$7x^2-6\sqrt{3}xy+13y^2 = 16$$という式が出てくる。これが楕円であることが分かっても、正確な図を描ける受験生は少ないだろう。

ただし、二次形式についての知識があれば、以下のように解決できる。$f(x, y) = 7x^2-6\sqrt{3}xy+13y^2$を書き換えると、$$\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & -3\sqrt{3}\\ -3\sqrt{3} & 13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$$である。$A = \begin{pmatrix}7 & -3\sqrt{3}\\ -3\sqrt{3} & 13\end{pmatrix}$とすると、固有方程式は$\left|A-tE\right| =\begin{vmatrix}7-t & -3\sqrt{3}\\ -3\sqrt{3} & 13-t\end{vmatrix} = t^2-20t+64= 0$であり、これを解いて固有値は$t = 4, 16$となる。単位固有ベクトルは順に$\displaystyle u_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}, u_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}$となる。よって、直交行列$\displaystyle U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -\sqrt{3}\\ 1 & 1\end{pmatrix}$を用いて、$U^{-1}AU = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 16\end{pmatrix}$と対角化できる。すなわち、$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = U\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}$となる$x^{\prime}, y^{\prime}$を考えると、$\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x^{\prime} & y^{\prime}\end{pmatrix}U^{T} = \begin{pmatrix}x^{\prime} & y^{\prime}\end{pmatrix}U^{-1}$であるから、元の二次形式に代入して、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}x^{\prime} & y^{\prime}\end{pmatrix}U^{-1}AU\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix} & = & (x^{\prime}, y^{\prime})\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$16 = 7x^2-6\sqrt{3}xy+13y^2 = 4{x^{\prime}}^2 + 16{y^{\prime}}^2$$となる。また、$U^{-1}$が$30^\circ$の回転行列であることもすぐに分かる。