[math][東京医科歯科大学][座標平面]1998年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

次の問いに答えよ。
$(1)$ $AB = 2, AD = 4$の長方形$ABCD$の$2$本の対角線の交点を$E$とする。点$E$を通り、長方形$ABCD$に含まれるような円の全体を考え、それらの中心が作る図形の面積$S_1$を求めよ。
$(2)$ 定点$O$を中心とする半径$4$の円を$F$とし、点$O$からの距離が$2$の定点$H$をとる。点$H$を内部に含み、円$F$に含まれるような円全体を考えそれらの中心が作る面積$S_2$を求めよ。

方針

もちろん座標設定する。

解答

$(1)$ $xy$平面の原点に点$E$を置いて、点$A, B, C, D$を順に$(2, 1), (-2, 1), (-2, -1), (2, -1)$に配置する。

円の方程式を$(x-a)^2+(y-b)^2=c^2$とする。この点が原点$E$を通ることから、$(0-a)^2+(0-b)^2=c^2$である。したがって円の方程式は$(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2$である。$a > 0, b > 0$の場合を考えると、下の図から円が長方形$ABCD$に含まれる条件は$$\begin{cases}a+\sqrt{a^2+b^2} & < & 1\\ b+\sqrt{a^2+b^2} & < & 2\end{cases}$$である。

変形すると、$$\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}& < &1-a\ \ (1-a>0)\\ \sqrt{a^2+b^2} & < & 2-b\ \ (2-b > 0)\end{cases}$$である。両辺を二乗して、$$\begin{cases}a^2+b^2 & < & 1-2a+a^2, \ \ a<1\\ a^2+b^2 & < & 4-4b+b^2, \ \ (b < 2)\end{cases}$$であり、さらに変形して$$\begin{cases}a & < & \displaystyle \frac{1-b^2}{2}, \ \ a<1\\ b & < & \displaystyle \frac{4-b^2}{4}, \ \ b < 2\end{cases}$$となる。これを図示すると以下の図のようになる。

上図の斜線部の部分が求める面積の$\displaystyle \frac{1}{4}$になる。

求める面積$S_1$は下図の斜線部の面積の$4$倍で、$$\begin{eqnarray}S_1 & = & 4\int_{0}^{1}{\frac{1-b^2}{2}db}\\ & = & 2\left[b-\frac{b^3}{3}\right]_{0}^{1}\\ & = & \underline{\frac{4}{3}}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ ここでも点$O$を原点とする$xy$座標平面を考える。点$H$を$(2, 0)$とする。題意のような円を$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$とする。この円が$H$を内部に含むことから、$$(2-p)^2+(0-q)^2 < r^2\ \ \tag{a}\label{a}$$である。また、この円が円$F$に含まれることから、$2$つの円の中心間の距離は$2$つの円の半径の差よりも小さくなるので、$$\sqrt{p^2+q^2} < 4-r\ \ \tag{b}\label{b}$$である。\eqref{a}, \eqref{b}から$$\sqrt{(2-p)^2+q^2} < 4-\sqrt{p^2+q^2}$$である。つまり、$$\sqrt{p^2+q^2}+\sqrt{(p-2)^2+q^2} < 4$$である。これは$pq$平面において点$(0, 0)$と点$(2, 0)$からの距離の和が一定値$4$未満である点の集合なので、楕円の内部（周を含まない）になる。この楕円は下図のようになり、長軸の長さは$4$、短軸の長さは$2\sqrt{3}$になるから、求める面積は$\displaystyle S_2 = \frac{4}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{2}\cdot \pi = \underline{2\sqrt{3}\pi}$となる。

解説

意外に厄介な問題で、結果を見ると二次関数や楕円が現れるので、図形的に処理するのは難しい。

$(1)$ 円の中心と半径を文字で置いて数式で処理する対称性から$a > 0, b > 0$のときだけを考えて後で面積を$4$倍すると良い。

$(2)$ 円$C_1$と円$C_2$があって、それぞれの半径を$r_1, r_2$、中心間の距離を$d$とすると、円$C_1$の内部に円$C_2$が含まれる条件は$$d < r_1-r_2$$である。教科書にも載っている基本的事実で、図を描いて見るとすぐに様子はわかるが、意外に忘れやすいかもしれない。解答では$$\sqrt{p^2+q^2} + \sqrt{(p-2)^2+q^2} < 4$$が出た時点でそれ以上計算を進めず楕円の定義に戻っている。計算すると、これは$\displaystyle \frac{(p-1)^2}{4}+\frac{q^2}{3} < 1$であることがわかる。

長軸の長さが$a$、短軸の長さが$b$の楕円の面積は$\displaystyle \frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}\cdot \pi$となる。$a = b$のときにこれは円の面積の公式となる。