[math][東京医科歯科大学][複素数平面]1997年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

次の問いに答えよ。ただし$i$は虚数単位とする。
$(1)$ 複素数$z = x +yi$（$x, y$は実数）を$\displaystyle z +\frac{1}{z}$が実数となるように動かすとき、$x^2y+4y^3$の最大値を求めよ。
$(2)$ 座標平面上の各点$P(x, y)$に対して複素数$\displaystyle z = \left(x+y-\frac{1}{2}\right)+(x-y)i$を考える。このとき$\displaystyle z^2+\frac{1}{z^2}$が実数となるような点$P(x, y)$の存在範囲を座標平面上に図示せよ。

方針

簡単な問題であるが、$x = y = 0$の場合を見落とさないように気をつける。

解答

$(1)$ $\displaystyle \frac{1}{z}$が存在するので、$x^2+y^2\ne 0$である。$$\begin{eqnarray}z + \frac{1}{z} & = & x+yi + \frac{1}{x+yi}\\ & = & x+yi + \frac{x-yi}{x^2+y^2}\\ & = & x+\frac{x}{x^2+y^2} + y\left(1-\frac{y}{x^2+y^2}\right)i\end{eqnarray}$$である。したがって、$\displaystyle z + \frac{1}{z}$が実数であるとき、$y = 0$または$x^2+y^2=1$である。
$y = 0$のとき、$x^2y+4y^3 = 0$である。
$x^2+y^2=1$のとき、$-1\leq y\leq 1$であり、$$\begin{eqnarray}x^2y+4y^3 & = & (1-y^2)y+4y^3 \\ & = & 3y^3+y\end{eqnarray}$$となる。これを$y$について微分すると、$9y^2+1 > 0$となるので、$3y^2+y\leq 3\cdot 1^3 + 1 = 4$である。以上から$x^2y+4y^3$の最大値は$\underline{4}$となる。

$(2)$ $z$の共役複素数を$\bar{z}$とすると、$\displaystyle z^2+\frac{1}{z^2}$が実数である条件は$$z^2+\frac{1}{z^2} = \overline{z^2+\frac{1}{z^2}}={\bar{z}}^2+\frac{1}{{\bar{z}}^2}$$である。変形して、$$(z+\bar{z})(z-\bar{z}) = \frac{(z+\bar{z})(z-\bar{z})}{{z}^2{\bar{z}}^2}$$である。更に整理すると、$$(z+\bar{z})(z-\bar{z})(z\bar{z}-1) = 0$$となる。したがって、$z+\bar{z} = 0$または$z-\bar{z} = 0$または$z\bar{z} -1 = 0$である（$z\bar{z} = |z|^2$なので、$z\bar{z}\ne -1$である）。ここに$\displaystyle z = \left(x+y-\frac{1}{2}\right)+(x-y)i$を代入して、$$\begin{cases}\displaystyle x+y-\frac{1}{2} = 0\ \ または\\x-y = 0\ \ または\\ \displaystyle \left(x+y-\frac{1}{2}\right)^2+(x-y)^2 = 1\end{cases}$$となる。ただし、$z+\bar{z} = 0$かつ$z-\bar{z} = 0$のとき、$z = 0$となるので、$\displaystyle x+y-\frac{1}{2} = 0$かつ$x-y = 0$となる点、すなわち$\displaystyle (x, y) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$は除く。$$\left(x+y-\frac{1}{2}\right)^2+(x-y)^2 = 1$$を整理すると、$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\left(y-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}$$であるから、点$P$の存在範囲を図示すると以下の図のようになる。