[math][東京医科歯科大学][複素数平面]1997年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

次の問いに答えよ。ただし $i$ は虚数単位とする。
$(1)$ 複素数 $z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）を $z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動かすとき、 $x^{2} y + 4 y^{3}$ の最大値を求めよ。
$(2)$ 座標平面上の各点 $P (x, y)$ に対して複素数 $z = (x + y - \frac{1}{2}) + (x - y) i$ を考える。このとき $z^{2} + \frac{1}{z^{2}}$ が実数となるような点 $P (x, y)$ の存在範囲を座標平面上に図示せよ。

方針

簡単な問題であるが、 $x = y = 0$ の場合を見落とさないように気をつける。

解答

$(1)$ $\frac{1}{z}$ が存在するので、 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ である。 $\begin{array}{rcl} z + \frac{1}{z} & = & x + y i + \frac{1}{x + y i} \\ = & x + y i + \frac{x - y i}{x^{2} + y^{2}} \\ = & x + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} + y (1 - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}) i \end{array}$ である。したがって、 $z + \frac{1}{z}$ が実数であるとき、 $y = 0$ または $x^{2} + y^{2} = 1$ である。
$y = 0$ のとき、 $x^{2} y + 4 y^{3} = 0$ である。
$x^{2} + y^{2} = 1$ のとき、 $- 1 \leq y \leq 1$ であり、 $\begin{array}{rcl} x^{2} y + 4 y^{3} & = & (1 - y^{2}) y + 4 y^{3} \\ = & 3 y^{3} + y \end{array}$ となる。これを $y$ について微分すると、 $9 y^{2} + 1 > 0$ となるので、 $3 y^{2} + y \leq 3 \cdot 1^{3} + 1 = 4$ である。以上から $x^{2} y + 4 y^{3}$ の最大値は $\underset{―}{4}$ となる。

$(2)$ $z$ の共役複素数を $\bar{z}$ とすると、 $z^{2} + \frac{1}{z^{2}}$ が実数である条件は $z^{2} + \frac{1}{z^{2}} = \overset{―}{z^{2} + \frac{1}{z^{2}}} = {\bar{z}}^{2} + \frac{1}{{\bar{z}}^{2}}$ である。変形して、 $(z + \bar{z}) (z - \bar{z}) = \frac{(z + \bar{z}) (z - \bar{z})}{z^{2} {\bar{z}}^{2}}$ である。更に整理すると、 $(z + \bar{z}) (z - \bar{z}) (z \bar{z} - 1) = 0$ となる。したがって、 $z + \bar{z} = 0$ または $z - \bar{z} = 0$ または $z \bar{z} - 1 = 0$ である（ $z \bar{z} = | z |^{2}$ なので、 $z \bar{z} \neq - 1$ である）。ここに $z = (x + y - \frac{1}{2}) + (x - y) i$ を代入して、 ${\begin{cases} x + y - \frac{1}{2} = 0 または \\ x - y = 0 または \\ {(x + y - \frac{1}{2})}^{2} + (x - y)^{2} = 1 \end{cases}$ となる。ただし、 $z + \bar{z} = 0$ かつ $z - \bar{z} = 0$ のとき、 $z = 0$ となるので、 $x + y - \frac{1}{2} = 0$ かつ $x - y = 0$ となる点、すなわち $(x, y) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ は除く。 ${(x + y - \frac{1}{2})}^{2} + (x - y)^{2} = 1$ を整理すると、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ であるから、点 $P$ の存在範囲を図示すると以下の図のようになる。