[math][東京医科歯科大学][積分]1997年東京医科歯科大学数学問題3

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2022.10.18

問題
方針
解答
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問題

座標平面上の曲線$$C: y = 2x^2-x^4\ \ (y\geq 0)$$および直線$$l: y = a\ (a\text{は}0<a<1\text{をみたす定数})$$を考える。このとき次の各問いに答えよ。
$(1)$ 曲線$C$と直線$l$の交点をすべて求めよ。
$(2)$ 曲線$C$と直線$l$で囲まれる図形のうち、$y\geq a$の部分を$K_1$、$y\leq a$の部分を$K_2$とする。このとき$K_1, K_2$を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積$V_1, V_2$をそれぞれ求めよ。
$(3)$ $V_1 = V_2$となるような$a$の値を求めよ。

方針

$y$軸まわりの積分はバームクーヘン分割を用いると良いが、この問題の場合なしでも解決する。

計算が主体の問題であり、奇抜な発想は求められていない。

解答

$(1)$ 曲線$C$と直線$l$の方程式を連立させて、$$\begin{eqnarray}2x^2-4x^4 & = & a\\ x^4-2x^2+a & = & 0\end{eqnarray}$$であるから、$x^2 = 1\pm \sqrt{1-a}$となる。したがって、$x = \pm\sqrt{1\pm\sqrt{1-a}}$である。求める交点は、$\underline{(-\sqrt{1-\sqrt{1-a}}, a), (-\sqrt{1+\sqrt{1-a}}, a), (\sqrt{1-\sqrt{1-a}}, a), (\sqrt{1+\sqrt{1-a}}, a)}$である。

$(2)$ $y = 2x^2-x^4$を$x$について微分すると$y^{\prime} = 4(1-x)(1+x)$となる。グラフの概形は以下の図のようになる。

$(1)$の過程を利用すると、$$\begin{eqnarray}V_1 & = & \int_{a}^{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{1-y}}\right)^2pi dy}-\int_{a}^{1}{\left(\sqrt{1-\sqrt{1-y}}\right)^2\pi dy}\\ & = & 2\pi\int_{a}^{1}{\sqrt{1-y}dy}\\ & = & 2\pi\left[-\frac{2}{3}(1-y)^{\frac{3}{2}}\right]_{a}^{a}\\ & = & \underline{\frac{4\pi}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}}}\\ V_2 & = & \int_{0}^{a}{\left(\sqrt{1-\sqrt{1-y}}\right)^2\pi dy}\\ & = & \int_{0}^{a}{(1-\sqrt{1-y})\pi dy}\\ & = & \left[y + \frac{2}{3}(1-y)^{\frac{2}{3}}\right]_{0}^{a}\\ & = & \underline{\left(a+\frac{2}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\right)\pi}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ $(2)$から、$V_1 = V_2$のとき$$\begin{eqnarray}\frac{4\pi}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}} & = & \left(a+\frac{2}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\right)\pi\\ \iff \frac{2}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}} & = & \left(a-\frac{2}{3}\right)\\ \iff 2(1-a)^{\frac{3}{2}} & = & (3a-2)\\ \iff 4(1-a)^3 & = & (3a-2)^2\ \ (3a-2 > 0)\\ \iff 4a^3-3a^2 & = & 0 \\ \iff 4a^2\left(a-\frac{3}{4}\right) & = & 0\end{eqnarray}$$である。$3a-2 > 0$から$\displaystyle \underline{a = \frac{3}{4}}$が求める答えとなる。