[math][東京医科歯科大学][立体図形]1995年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

$1$辺の長さが$1$の正四面体$ABCD$が、三角形$BCD$が底面になるように平らな机の上に置いてある。辺$CD$の中点を$E$とし、三角形$ABE$において角$B$、角$E$の大きさをそれぞれ$\beta, \gamma$とする。また辺$AB$上に点$P$をとり、線分$AP$の長さを$x$とする。
$(1)$ $\cos{\beta}$の値を求めよ。
$(2)$ 線分$PE$の長さを$x$を用いて表わせ。
$(3)$ この四面体を、底面の$1$辺を軸として回転させて机の上でころがし、底面を入れかえる操作を考える。この操作を$4$回くり返し、次の順序で底面を入れかえるとき、点$P$の軌跡の長さ$l$を$x$と$\gamma$を用いて表わせ。$$BCD \rightarrow ABC \rightarrow ABD \rightarrow ACD \rightarrow BCD$$
$(4)$ $l$を最小にする$x$の値を求め、$l$の最小値を$\gamma$を用いて表わせ。

方針

回転の問題では回転角と回転軸を正しく捉えることが重要である。

解答

$(1)$ $\displaystyle BE = AE = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、三角形$ABE$に余弦定理を適用して、$$\begin{eqnarray}\cos{\beta} & = & \frac{BE^2 + BA^2-AE^2}{2BA\cdot BE}\\ & = & \frac{1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ & = & \underline{\frac{1}{\sqrt{3}}}\end{eqnarray}$$である。

$(2)$ $PAE = \beta$であるから、三角形$APE$に余弦定理を適用して、$$\begin{eqnarray}PE & = & \sqrt{AP^2+AE^2-2AP\cdot AE\cdot \cos{\beta}}\\ & = & \sqrt{x^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\\ & = & \underline{\sqrt{x^2-x+\frac{3}{4}}}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ 点$P$から$i$回目の回転の回転軸への長さを$l_i\ \ (i = 1, 2, 3, 4)$とする。

$BCD \rightarrow ABC$回転の軸は$BC$で、$\displaystyle l_1 = BP\cdot \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$である。回転角は$\pi-\gamma$であるから、点$P$の軌跡の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)(\pi-\gamma)$である。
$ABC \rightarrow ABD$回転の軸は$AB$で、$\displaystyle l_2 = 0$であるから、点$P$の軌跡の長さは$0$である。
$ABD \rightarrow ACD$回転の軸は$AD$で、$\displaystyle l_3 = AP\cdot \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$である。回転角は$\pi -\gamma$であるから、点$P$の軌跡の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}x(\pi-\gamma)$である。
$ACD \rightarrow BCD$回転の軸は$CD$で、$\displaystyle l_4 = PE = \sqrt{x^2-x+\frac{3}{4}}$である。回転角は$\pi -\gamma$であるから、点$P$の軌跡の長さは$\displaystyle (\pi-\gamma)\sqrt{x^2-x+\frac{3}{4}}$である。

以上から、全体での点$P$の軌跡の長さは$$\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)(\pi-\gamma)+ 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}pi-\gamma) + (\pi-\gamma)\sqrt{x^2-x+\frac{3}{4}} = \underline{(\pi-\gamma)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{3}{4}}\right)}$$となる。

$(4)$ $$x^2-x+\frac{3}{4} = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}$$は$\displaystyle x = \frac{1}{2}$で最小値を取る。したがって、$(3)$から$$l\geq (\pi-\gamma)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)$$であるから、$l$の最小値は$\displaystyle \underline{\frac{(\pi-\gamma)(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{2}}$となる。

解説

$(1)$ 当然余弦定理を使う。

$(2)$ ここも余弦定理が活躍する。$(1), (2)$の結果は後で用いるので正しく求める必要がある。

$(3)$ たくさん図を書く必要はない。必要なのは点$P$と回転軸との距離、および回転角だけである。後者の回転角はこの場合ほとんど$\pi-\gamma$となる。これに気がつくことが第一の関門。第二の関門の回転軸であるが、たとえば$ABD \rightarrow ACD$の回転では、上の図を見ると共通の辺が$AD$なので、この辺が回転軸になることがすぐに分かる。後は点$P$から$AD$への垂線の長さを求めれば良い。

$(4)$ $(3)$が解けた受験生にとってはサービス問題となる。