[math][東京医科歯科大学][座標空間]1994年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

空間において次の$4$つの平面${\alpha}_1, {\alpha}_2, {\beta}, \gamma$を考える。ただし、$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。$$\begin{eqnarray}{\alpha}_1 & : & y = -(\tan{\theta})x &\ \ \ & {\alpha}_2 & : & y = (\tan{\theta})x\\ \beta & : & z = \left(\tan{\frac{\theta}{2}}\right)y &\ \ \ & \gamma & : & z = (\tan{\theta})y \end{eqnarray}$$
$(1)$ ${\alpha}_1$と$\beta$の交線を$l_1$、${\alpha}_2$と$\beta$の交線を$l_2$とする。$l_1$と$l_2$が直交するときの$\cos{\theta}$の値を求めよ。
$(2)$ ${\alpha}_1$と$\gamma$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ。

方針

解答

$(1)$ ${\alpha}_1$の方程式を書き直すと、$$x:y = 1:-\tan{\theta}$$であり、$\beta$の方程式を書き直すと$$\begin{eqnarray}y:z & = & 1:\tan{\frac{\theta}{2}}\\ & = & -\tan{\theta}:-\tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}}\end{eqnarray}$$である。したがって、$l_1$の方程式は$$x:y:z = 1:-\tan{\theta}:-\tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}} \tag{a}\label{a}$$である。同様に${\alpha}_2$の方程式を書き直すと$$x:y = 1:\tan{\theta}$$であり、$\beta$の方程式は$$\begin{eqnarray}y:z & = & 1:\tan{\frac{\theta}{2}}\\ & = & \tan{\theta}:\tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}}\end{eqnarray}$$とも書き直せるから、$l_2$の方程式は$$x:y:z = 1:\tan{\theta}:\tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}} \tag{b}\label{b}$$である。\eqref{a}, \eqref{b}から$l_1$の法線方向のベクトルが$\displaystyle \left(1, -\tan{\theta}, -\tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)$で、$l_2$の法線方向のベクトルが$\displaystyle \left(1, \tan{\theta}, \tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)$であることがわかる。$l_1, l_2$は直交するので、これらのベクトルは互いに直交し、内積は$0$になる。したがって、$$\left(1, -\tan{\theta}, -\tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)\cdot \left(1, \tan{\theta}, \tan{\theta}\tan{\frac{\theta}{2}}\right) = 1-\tan^2{\theta}-\tan^2{\theta}\tan^2{\frac{\theta}{2}}$$は$0$になる。整理して、$$\tan^2{\theta}\left(1+\tan^2{\frac{\theta}{2}}\right) = 1 \tag{c}\label{c}$$となる。$\cos{\theta} = x$とすると、$$\begin{eqnarray}\tan^2{\theta} & = & \frac{1}{x^2}-1 \\ & = & \frac{1-x^2}{x^2}\\ \tan^2{\frac{\theta}{2}} & = & \frac{\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{\cos^2{\frac{\theta}{2}}}\\ & = & \frac{\frac{1-\cos{\theta}}{2}}{\frac{1+\cos{\theta}}{2}}\\ & = & \frac{1-x}{1+x}\end{eqnarray}$$である。\eqref{c}に代入して、$$\begin{eqnarray}\frac{1-x^2}{x^2}\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right) & = & 1\\ 2(1-x) & = & x^2\\ x^2+2x-2 & = & 0\\ x & = & -1\pm \sqrt{3}\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$から$0 < \cos{\theta} < 1$であるから、$\underline{\cos{\theta} = -1+\sqrt{3}}$が答えとなる。

$(2)$ ${\alpha}_1$を書き直すと$$(x, y, z)\cdot (\tan{\theta}, 1, 0) = 0$$となるので、${\alpha}_1$の法線方向のベクトルは$(\tan{\theta}, 1, 0)$である。同様に、$\gamma$を書き直すと$$(x, y, z) \cdot (0, \tan{\theta}, -1) = 0$$となるので、$\gamma$の法線方向のベクトルは$(0, \tan{\theta}, -1)$である。これらのベクトルのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるから、内積の定義から$$\begin{eqnarray}(\tan{\theta}, 1, 0)\cdot (0, \tan{\theta}, -1) & = & \sqrt{\tan^2{\theta} + 1}\sqrt{\tan^2{\theta} + 1}\times \cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\\ \tan{\theta} & = & \frac{\tan^2{\theta} + 1}{2}\\ \tan^2{\theta}-2\tan{\theta} + 1 & = & 0\\ (\tan{\theta}-1)^2 & = & 0\\ \tan{\theta} & = & 1\\ \theta & = & \frac{\pi}{4}\ \ \left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\end{eqnarray}$$となる。よって、$\displaystyle \underline{\theta = \frac{\pi}{4}}$が求める答えとなる。

解説

解答のように方程式を比の形で考えるのが簡単で、連立させたものが交線となる。$xy$平面上の直線$ax+by = c$に対して、ベクトル$(a, b)$をこの直線の法線ベクトルという。少し細かく解説すると、直線上の点$(p, q)\ \ (ap + bq = c)$に対して、同じ直線上の任意の点$(x, y)$は、内積$$(a, b)\cdot (x-p, y-q)$$を考えると、$$\begin{eqnarray} & = & a(x-p)+b(y-q)\\ & = & ax+by-(ap+bq)\\ & = & ax+by-c\\ & = & 0\end{eqnarray}$$となる。つまり、平面上では直線はある一点（ここでは点$(p, q)$）と直線に垂直なベクトル（ここでは$(a, b)$）を設定すれば決定するという意味である。これが法線ベクトルという名前の由来である。

全く同じようにして、空間上の平面$ax + by + cz = d$に対して、ベクトル$(a, b, c)$をこの平面の法線ベクトルという。解答ではこの法線ベクトルの考え方を用いて計算を進めている。問題では$\cos{\theta}$の値を要求されているので、最初から$\cos{\theta}$を求める形で計算を進める。$\tan{\theta}$や$\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}$を最初に求めようとすると、やや計算が面倒になる。

$(2)$ ここも$(1)$と同じように法線ベクトルを用いる。