[math][東京医科歯科大学][微分]1994年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

$xy$平面上で次の直線$l$と曲線$C$を考える。$$\begin{eqnarray}l & : & y = ax+b\\ C & : & y = b\log{x}+ab\end{eqnarray}$$ただし$a > 0, b > 0$とする。$l$が$C$の接線であるとき次の問いに答えよ。
$(1)$ $b$を$a$を用いて表わせ。
$(2)$ 直線$l$と曲線$C$および$x$軸とによって囲まれる図形の面積$S$を最大にするような$a$の値を求めよ。
$(3)$ $a$を$0 < a\leq 2$の範囲で変化させるとき、$l$と$C$の接点の軌跡の概形を$xy$平面上に図示せよ。

方針

標準的な内容の問題であるが、計算はやや面倒である。

解答

$(1)$ $l$と$C$の方程式を微分するとそれぞれ$$\begin{cases}l: y^{\prime} = a\\ C: y^{\prime} = \displaystyle \frac{b}{x}\end{cases}$$となるので、接点の$x$座標を$t$と置くと、$$\begin{cases}at + b & = & b\log{t} + ab\\ a & = & \displaystyle \frac{b}{t}\end{cases}$$である。下の式から$\displaystyle t = \frac{b}{a}\ \ (a > 0)$であるから、これを上の式に代入して、$$\begin{eqnarray}a\cdot \frac{b}{a} + b & = & b\log{\left(\frac{b}{a}\right)}+ ab\\ \iff 2b & = & b\log{\left(\frac{b}{a}\right)}+ab\end{eqnarray}$$である。両辺を$b\ \ (> 0)$で割って、$$\begin{eqnarray}2 & = & \log{\left(\frac{b}{a}\right)}+a\\ \frac{b}{a} & = & 2^{2-a}\end{eqnarray}$$である。よって、$\underline{b = ae^{2-a}}$である。

$(2)$ $l: y = ax + b = 0$となるのは$\displaystyle x = -\frac{b}{a}$のときで、また$C: y = b\log{x} + ab = 0$となるのは$x = e^{-a}$のときであるから、下のグラフの斜線部が求める面積である。$\displaystyle t = \frac{b}{a}$に注意して、

$$\begin{eqnarray}S & = & \frac{1}{2}\times \left(t-\left(-\frac{b}{a}\right)\right)\times (at+b)-\int_{t}^{e^{-a}}{(b\log{x} + ab)dx}\\ & = & \frac{2b^2}{a}-b\int_{t}^{e^{-a}}{\log{x}dx}-ab(t-e^{-a})\\ & = & \frac{2b^2}{a}-b[x(\log{x}-1)]_{e^{-a}}^{t}-b^2+abe^{-a}\\ & = & \frac{2b^2}{a}-b\left(\frac{b}{a}\left(\log{\left(\frac{b}{a}\right)}-1\right)\right) + b(e^{-a})(-a-1)-b^2+abe^{-a}\\ & = & \frac{3b^2}{a}-\frac{b^2}{a}\log{\left(\frac{b}{a}\right)}-b^2-be^{-a}\end{eqnarray}$$である。$(1)$の途中経過から$\displaystyle \log{\left(\frac{b}{a}\right)} = 2-a$であるから、代入して、$$\begin{eqnarray}S & = & \frac{3b^2}{a}-\frac{b^2}{a}(2-a)-b^2-be^{-a}\\ & = & \frac{b^2}{a}-be^{-a}\end{eqnarray}$$となる。$(1)$から$b = ae^{2-a}$であるから、さらに代入して、$$\begin{eqnarray}S & = & \frac{a^2e^{4-2a}}{a}-ae^{2-2a}\\ & = & e^2(e^2-1)ae^{-2a}\end{eqnarray}$$である。$f(a) = ae^{-2a}\ \ (a > 0)$とすると、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(a) & = & e^{-2a} +(-2)ae^{-2a}\\ & = & e^{-2a}(1-2a)\end{eqnarray}$$である。したがって、$\displaystyle a < \frac{1}{2}$において$f^{\prime}(a) > 0$であり、$\displaystyle a = \frac{1}{2}$において$f^{\prime}(a) = 0$であり、また$\displaystyle a > \frac{1}{2}$において$f^{\prime}(a) < 0$であるから、$\displaystyle \underline{a = \frac{1}{2}}$において$S$は最大値をとる。

$(3)$ 接点の座標は$$\begin{eqnarray}(t, at + b) & = & \left(\frac{b}{a}, 2b\right)\\ & = & (e^{2-a}, 2ae^{2-a})\end{eqnarray}$$である。この座標を$(X, Y)$とすると、$$\begin{cases}X & = & e^{2-a}\\ Y & = & 2ae^{2-a}\end{cases}$$である。$0 < a\leq 2$から$1\leq X < e^2$である、$X = e^{2-a}$から$a = 2-\log{x}$を$Y$の式に代入して、$$Y = 2(2-\log{X})X$$である。したがって、$$Y^{\prime} = -2(\log{X} -1)$$となるので、$Y$の増減表は以下のようになる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline X & 1& & e & & e^2 \\ \hline Y^{\prime} &+ & & 0 & – & \\ \hline Y & 4 & \nearrow & 2e & \searrow & 0 \\ \hline \end{array}また、$\displaystyle Y^{\prime\prime} = -\frac{2}{X}$であるから、接点の軌跡は以下の図のようになる。