[math][東京医科歯科大学][一次変換]1993年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

行列$\displaystyle A = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3 & 4\\4 & 3\end{pmatrix}$で表される平面上の$1$次変換を$f$とする。
$(1)$ $f$によってそれ自身に移される点をすべて求めよ。
$(2)$ $f$によってそれ自身に移される直線をすべて求めよ。
$(3)$ 曲線$C: y = e^x$の$f$による像を$C^{\prime}$とする。点$P$が$C$上を、点$Q$が$C^{\prime}$上をそれぞれ動くとき、線分$PQ$の長さの最小値を求めよ。

方針

$(2), (3)$はバリバリと計算する前に、$(1)$の結果を踏まえて図形的な考察をしてみると良い。

解答

$(1)$ $\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}$に対して、$$\begin{eqnarray}A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} & = & \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3 & 4\\ 4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\\ & = & \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3x+4y \\ 4x + 3y\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$である。この点がそれ自身に移されるとき、$$\begin{cases}x & = & \displaystyle \frac{1}{5}(-3x+4y)\\ y & = & \displaystyle \frac{1}{5}(4x+3y)\end{cases}$$である。この連立方程式を解くと、$y = 2x$となる。したがって、$f$によってそれ自身に移される点は$\underline{(t, 2t)}\ (t\text{は任意の実数})$となる。

$(2)$ $\displaystyle \tan{\theta} = 2\ \ \left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$とすると、$$\begin{eqnarray}\cos{2\theta} & = & 2\cos^2{\theta}-1\\ & = & \frac{2}{1+\tan^2{\theta}}-1\\ & = & \frac{2}{1+2^2} -1\\ & = & -\frac{3}{5}\\ \sin{2\theta} & = & \sqrt{1-\cos^2{2\theta}}\\ & = & \frac{4}{5}\end{eqnarray}$$となる。したがって、$\displaystyle A = \begin{pmatrix}\cos{2\theta} & \sin{2\theta}\\ \sin{2\theta} & -\cos{2\theta}\end{pmatrix}$である。これは直線$y = (\tan{\theta})x = 2x$に関する対称移動を表す行列である。したがって、$f$によってそれ自身に移される直線は、$(1)$で求めた直線$\underline{y = 2x}$と、$y = 2x$に垂直な$\displaystyle \underline{y = -\frac{1}{2}x + t\ \ (t\text{は任意の実数})}$である。

$(3)$ 曲線$C$と直線$y = 2x$との位置関係は下の図のようになる。曲線$C^{\prime}$は曲線$C$を直線$y = 2x$に関して対称移動させたものであるから、曲線$C$上の点$(t, e^{t})$から直線$2x-y = 0$に下ろした垂線の長さを$h$とすると、$(1), (2)$から$2h$が求める線分$PQ$の長さの最小値である。

$$\begin{eqnarray}h & = & \frac{|2t-e^t|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\ & = & \frac{e^t-2t}{\sqrt{5}}\end{eqnarray}$$であるから、$$\frac{dh}{dt} = \frac{e^t-2}{\sqrt{5}}$$となる。$t < \log{2}$において$\displaystyle \frac{dh}{dt} < 0$であり、$t = \log{2}$において$\displaystyle \frac{dh}{dt} = 0$であり、なおかつ$t > \log{2}$において$\displaystyle \frac{dh}{dt} > 0$であるから、$h$は$t = \log{2}$において最小値$\displaystyle \frac{2(1-\log{2})}{\sqrt{5}}$をとる。よって、求める$PQ$の長さの最小値は$\displaystyle \underline{2h = \frac{4(1-\log{2})}{\sqrt{5}}}$である。

解説

$(1)$ 普通に計算する。

$(2)$ $(1)$の結果をよく吟味すると、ほとんど計算することなく結果を得ることができる。対称移動の行列については少し詳しく見てみよう。平面上直線$y = mx$についての対称移動を表す行列は、$\tan{\theta} = m$としたとき、$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos{2\theta} & \sin{2\theta}\\ \sin{2\theta} & -\cos{2\theta}\end{pmatrix}$と表すことができる。これは、まず回転行列$$\begin{pmatrix}\cos{(-\theta)} & \sin{(-\theta)}\\ \sin{(-\theta)} & \cos{(-\theta)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos{\theta} & \sin{\theta}\\ -\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{pmatrix}$$によって図形全体を$-\theta$だけ回転させた後、$x$軸に関する対称移動行列$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$を作用させて、その後図形全体を$\theta$回転させて元に戻すこと、というようにステップごとに分解して考えると良い。この行列は、一次変換が左から順番に作用させることに注意して、$$\begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos{\theta} & \sin{\theta}\\ -\sin{\theta} & \cos{\theta}\end{pmatrix}$$となる。計算すると、$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos{2\theta} & \sin{2\theta}\\ \sin{2\theta} & -\cos{2\theta}\end{pmatrix}$を得ることができる。なお、$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$が$x$軸に関する対称移動行列であることは、$$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\ -y\end{pmatrix}$$であることからわかる。