[math][東京医科歯科大学][一次変換]1993年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

行列 $A = \frac{1}{5} (\begin{matrix} - 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix})$ で表される平面上の $1$ 次変換を $f$ とする。
$(1)$ $f$ によってそれ自身に移される点をすべて求めよ。
$(2)$ $f$ によってそれ自身に移される直線をすべて求めよ。
$(3)$ 曲線 $C : y = e^{x}$ の $f$ による像を $C^{'}$ とする。点 $P$ が $C$ 上を、点 $Q$ が $C^{'}$ 上をそれぞれ動くとき、線分 $P Q$ の長さの最小値を求めよ。

方針

$(2), (3)$ はバリバリと計算する前に、 $(1)$ の結果を踏まえて図形的な考察をしてみると良い。

解答

$(1)$ $(\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ に対して、 $\begin{array}{rcl} A (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) & = & \frac{1}{5} (\begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) \\ = & \frac{1}{5} (\begin{array}{c} - 3 x + 4 y \\ 4 x + 3 y \end{array}) \end{array}$ である。この点がそれ自身に移されるとき、 ${\begin{cases} x & = & \frac{1}{5} (- 3 x + 4 y) \\ y & = & \frac{1}{5} (4 x + 3 y) \end{cases}$ である。この連立方程式を解くと、 $y = 2 x$ となる。したがって、 $f$ によってそれ自身に移される点は $\underset{―}{(t, 2 t)} (t は任意の実数)$ となる。

$(2)$ $\tan θ = 2 (0 < θ < \frac{π}{2})$ とすると、 $\begin{array}{rcl} \cos 2 θ & = & 2 \cos^{2} θ - 1 \\ = & \frac{2}{1 + \tan^{2} θ} - 1 \\ = & \frac{2}{1 + 2^{2}} - 1 \\ = & - \frac{3}{5} \\ \sin 2 θ & = & \sqrt{1 - \cos^{2} 2 θ} \\ = & \frac{4}{5} \end{array}$ となる。したがって、 $A = (\begin{matrix} \cos 2 θ & \sin 2 θ \\ \sin 2 θ & - \cos 2 θ \end{matrix})$ である。これは直線 $y = (\tan θ) x = 2 x$ に関する対称移動を表す行列である。したがって、 $f$ によってそれ自身に移される直線は、 $(1)$ で求めた直線 $\underset{―}{y = 2 x}$ と、 $y = 2 x$ に垂直な $\underset{―}{y = - \frac{1}{2} x + t (t は任意の実数)}$ である。

$(3)$ 曲線 $C$ と直線 $y = 2 x$ との位置関係は下の図のようになる。曲線 $C^{'}$ は曲線 $C$ を直線 $y = 2 x$ に関して対称移動させたものであるから、曲線 $C$ 上の点 $(t, e^{t})$ から直線 $2 x - y = 0$ に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、 $(1), (2)$ から $2 h$ が求める線分 $P Q$ の長さの最小値である。

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{| 2 t - e^{t} |}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2}}} \\ = & \frac{e^{t} - 2 t}{\sqrt{5}} \end{array}$ であるから、 $\frac{d h}{d t} = \frac{e^{t} - 2}{\sqrt{5}}$ となる。 $t < \log 2$ において $\frac{d h}{d t} < 0$ であり、 $t = \log 2$ において $\frac{d h}{d t} = 0$ であり、なおかつ $t > \log 2$ において $\frac{d h}{d t} > 0$ であるから、 $h$ は $t = \log 2$ において最小値 $\frac{2 (1 - \log 2)}{\sqrt{5}}$ をとる。よって、求める $P Q$ の長さの最小値は $\underset{―}{2 h = \frac{4 (1 - \log 2)}{\sqrt{5}}}$ である。

解説

$(1)$ 普通に計算する。

$(2)$ $(1)$ の結果をよく吟味すると、ほとんど計算することなく結果を得ることができる。対称移動の行列については少し詳しく見てみよう。平面上直線 $y = m x$ についての対称移動を表す行列は、 $\tan θ = m$ としたとき、 $(\begin{matrix} \cos 2 θ & \sin 2 θ \\ \sin 2 θ & - \cos 2 θ \end{matrix})$ と表すことができる。これは、まず回転行列 $(\begin{matrix} \cos (- θ) & \sin (- θ) \\ \sin (- θ) & \cos (- θ) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix})$ によって図形全体を $- θ$ だけ回転させた後、 $x$ 軸に関する対称移動行列 $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ を作用させて、その後図形全体を $θ$ 回転させて元に戻すこと、というようにステップごとに分解して考えると良い。この行列は、一次変換が左から順番に作用させることに注意して、 $(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix})$ となる。計算すると、 $(\begin{matrix} \cos 2 θ & \sin 2 θ \\ \sin 2 θ & - \cos 2 θ \end{matrix})$ を得ることができる。なお、 $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ が $x$ 軸に関する対称移動行列であることは、 $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ - y \end{matrix})$ であることからわかる。