[math][東京医科歯科大学][微分]1992年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$xy$平面上で曲線$y = be^{ax}$と直線$y = bx+a$とが接しているとき、次の問いに答えよ。ただし、$ab\ne 0$とする。
$(1)$ $b$を$a$の関数として表わせ。
$(2)$ $b$の極小値を求めよ。
$(3)$ $(1)$の関数のグラフの概形をかけ。

方針

教科書レベルの微分の問題である。難しいところは特にない。

解答

$(1)$ $y = be^{ax}, y = bx + a$に対して、それぞれ$y^{\prime} = bae^{ax}, y^{\prime} = b$であるから、接点の$x$座標を$t$とすると、$$\begin{cases}be^{at} = bt + a\\ bae^{at} = b\end{cases}$$である。$ab\ne 0$に注意して、下の式から$\displaystyle e^{at} = \frac{1}{a}$である。式をみると、$a > 0$であることもわかった。これを上の式に代入して、$$\begin{eqnarray}b\cdot \frac{1}{a} & = & bt+a\\ bt & = & \frac{b-a^2}{a}\\ t & = & \frac{b-a^2}{ab}\end{eqnarray}$$となる。さて、$\displaystyle e^{at} = \frac{1}{a}$の両辺の対数を取ると、$$at = -\log{a}$$であるから、$\displaystyle t = \frac{b-a^2}{ab}$を代入して、$\displaystyle \frac{b-a^2}{b} = -\log{a}$となる。整理して、$\displaystyle \underline{b = \frac{a^2}{1+\log{a}}}\ \ \left(a \ne \frac{1}{e}\right)$が求める答えである。

$(2)$ $(1)$から$$\begin{eqnarray}\frac{db}{da} & = & \frac{2a(1+\log{a}-a^2\cdot \frac{1}{a})}{(1+\log{a})^2}\\ & = & \frac{2a+2a\log{a}-a}{(1+\log{a})^2}\\ & = & \frac{a(1+2\log{a})}{(1+\log{a})^2}\end{eqnarray}$$である。したがって、$a ( > 0)$の関数$b$に対して、$\displaystyle \frac{db}{da}$は$\displaystyle 0 < a < \frac{1}{\sqrt{e}}$において負であり、$\displaystyle a = \frac{1}{\sqrt{e}}$において$\displaystyle 0$であり、$\displaystyle a > \frac{1}{\sqrt{e}}$において正である。よって、$b$の極小値は$\displaystyle a = \frac{1}{\sqrt{e}}$のとき、$\displaystyle \frac{\frac{1}{e}}{1+\log{\frac{1}{\sqrt{e}}}} = \underline{\frac{2}{e}}$である。

$(3)$ $\displaystyle \lim_{a\to 0}{b} = 0, \lim_{a\to \frac{1}{e}-}{b} = -\infty, \lim_{a\to \frac{1}{e}+}{b} = \infty, \lim_{a\to \infty}{b} = 0 $に注意すると、グラフの概形は下の図のようになる。

解説

$(1)$ $xy$平面上の微分可能な曲線$y = f(x), y = g(x)$が$x = a$で接する条件は$$\begin{cases}f(a) = g(a) \\ f^{\prime}(a) = g^{\prime}(a)\end{cases}$$が成り立つことである。この式を計算する途中で、$a > 0$に言及しておく。また、$\displaystyle a\ne \frac{1}{e}$にも留意する。

$(2)$ 極小値を求めるだけの問題である。

$(3)$ $\displaystyle b = \frac{a^2}{1+\log{a}}$なので、$a$が左から（小さい方から）$\displaystyle \frac{1}{e}$に近づくと$1 + \log{a}$はマイナスからどんどん$0$に近づく。すると、$\displaystyle \frac{1}{1+\log{a}}$はどんどんマイナス無限大に近づいていく。このように一つ一つ考え、グラフの様子を掴んでいく。