[math][東京医科歯科大学][微分方程式]1991年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

微分方程式$\displaystyle \left(y + \frac{dy}{dx}\right)\sin{x} = y\cos{x}$について、次の各問いに答えよ。
$(1)$ 一般解を求めよ。
$(2)$ この微分方程式の解$y = f(x)$で、区間$0\leq x \leq \pi$において曲線$y = f(x)$と$x$軸によって囲まれる図形の面積が$e^{-\pi} + 1$となるものを求めよ。
$(3)$ $(2)$で求めた関数$y = f(x)$に対し、関数$y = |f(x)|$が極値をとるような$x$の値をすべて求めよ。

方針

微分方程式は$x, y$を分離するのが鉄則になる。

解答

$(1)$ $\displaystyle \left(y + \frac{dy}{dx}\right)\sin{x} = y\cos{x}$を変形して、$$\frac{dy}{dx} = y\left(\frac{\cos{x}}{\sin{x}}-1\right)$$である。したがって、$$\frac{dy}{y} = \left(\frac{\cos{x}}{\sin{x}}-1\right)dx$$である。両辺を各々の変数で積分して、$$\begin{eqnarray}\ln{|y|} & = & \ln{|\sin{x}|}-x + C\\ & = & \ln{(|\sin{x}|e^{-x}e^{C})}\end{eqnarray}$$となる。ただし、$C$は積分定数である。これから、$$|y| = |C^{\prime}e^{-x}\sin{x}|$$となる。ただし、$C^{\prime} = e^{C}$である。これを改めて$C$とする。以上から、$\underline{y = Ce^{-x}\sin{x}}$が求める一般解となる。

$(2)$ 区間$0\leq x\leq \pi$において、$y = f(x)$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S$とすると、この区間において$\sin{x}\geq 0$であるから、$$S = |C|\int_{0}^{\pi}{e^{-x}\sin{x}dx}$$となる。積分$\displaystyle \int{e^{-x}\sin{x}dx}$を簡単に求めるために、$$\int{e^{-x}\sin{x}dx} = e^{-x}(a\cos{x}+b\sin{x})+D \tag{a}\label{a}$$とおいて、定数$a, b$を求める。ただし、$D$は積分定数である。\eqref{a}の両辺を$x$で微分して、$$\begin{eqnarray}e^{-x}\sin{x} & = & e^{-x}(a\cos{x}+b\sin{x})+e^{-x}(-a\sin{x}+b\cos{x})\\ & = & e^{-x}((-a+b)\cos{x}+(-a-b)\sin{x})\end{eqnarray}$$となる。両辺を比較して、$$\begin{cases}-a+b = 0\\ -a-b = 1\end{cases}$$である。すなわち、$\displaystyle a = b = -\frac{1}{2}$とすれば良い。これから、$$\begin{eqnarray}S & = & -\frac{|C|}{2}[\cos{x}+\sin{x}]_{0}^{\pi}\\ & = & -\frac{|C|}{2}(e^{-\pi}(-1+0)-e^{0}(1+0))\\ & = & \frac{|C|}{2}(e^{-\pi}+1)\end{eqnarray}$$と計算できる。この値が$e^{-\pi}+1$と等しいので、$C = \pm 2$である。よって、$\underline{f(x) = \pm 2e^{-x}\sin{x}}$が求める答えである。

$(3)$ $(2)$から、$f^{\prime}(x) = \pm 2e^{-x}(-\sin{x} + \cos{x})$である。$f^{\prime}(x) = 0$となるのは、$\sin{x} = \cos{x}$、すなわち$\displaystyle x = n\pi + \frac{\pi}{4} $の時である。ここで$n$は整数である。さて、$x = n\pi$で$f(x) = 0$であり、$x = n\pi$の近傍において、任意の$x$に対して$|f(x)|\geq f(n\pi) = 0$であるから$y = |f(x)|$は$x = n\pi$において極小になる。以上から、$y = |f(x)|$が極値を取る$x$は、$$\underline{x = \begin{cases}n\pi + \frac{\pi}{4}\text{（極大値）}\\ n\pi \text{（極小値）}\end{cases}}$$となる。

解説

$(1)$ 解答に積分定数が現れるが、一般解であるから構わない。

$(2)$ 積分定数がプラスにもマイナスにもなりうることに注意する。$y = 2e^{-x}\sin{x}$のみを答えとしてしまった場合、減点は免れない。$\displaystyle \int{e^{-x}\sin{x}dx}$を求める部分では、簡単なテクニックを持ちているが、普通に部分積分をくり返してもよい。このテクニックは計算ミスを減らすことができるので、試験場では重宝する。

$(3)$ 極大値をとる$x$の値はすぐに分かるが、極小値の方は見落としやすいと思う。極値の定義は大学の解析学の授業できちんと習うので、高校の範囲ではあやふやになりやすい。「微分して$0$になる点」と思っているとこの問題では痛い目を見る。以下の記事で極値の定義を確認しておくとよい。