[math][東京医科歯科大学][空間座標]1989年東京医科歯科大学数学問題1

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2022.11.15

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問題

$xyz$空間に点$\displaystyle A\left(-\frac{1}{3}, -\frac{14}{3}, -\frac{2}{3}\right)$と球面$S_0: x^2+y^2+z^2=1$とがある。また曲面$y^2 = x$が$xy$平面と交わってできる曲線を$C$とする。
$(1)$ 点$P$が球面$S_0$上を動くとき、線分$AP$を$4:3$に外分する点$Q$のつくる曲面$S$の方程式を求めよ。
$(2)$ 点$R$が曲線$C$上を動き、点$T$が$(1)$の曲面$S$上を動くとき、線分$RT$の長さの最小値を求めよ。

方針

空間座標の問題であるが、怖気づく必要はない。

解答

$(1)$ 与えられた条件から、$\overrightarrow{AQ} = 4\overrightarrow{AP}$である。原点を$O$としてこの式を変形すると、$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA} = 4(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OQ} & = & \overrightarrow{OA} + 4(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})\\ & = & 4\overrightarrow{OP}-3\overrightarrow{OA}\\ & = & 4\overrightarrow{OP}+(1, 14, 2)\end{eqnarray}$$である。これは中心が$(1, 14, 2)$で半径が$4$の球である。よって求める$S$の方程式は$\underline{(x-1)^2+(y-14)^2+(z-2)^2 = 16}$となる。

$(2)$ 曲面$S$と曲線$C$の概形は以下の図のようになる。

$RT$の長さの最小値を求めるには、$(1)$で求めた球の中心$(1, 14, 2)$を点$B$として、$RB$の最小値を求めれば良い。点$R(t^2, t, 0)$とすると、$$\begin{eqnarray}RB^2 & = & (t^2-1)^2+(t-14)^2+2^2\\ & = & t^4-2t^2+1+t^2-28t+196+4\\ & = & t^4-t^2-28t+201\end{eqnarray}$$である。$f(t) = t^4-t^2-28t+201$とすると、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t) & = & 4t^3-2t-28\\ & = & 2(t-2)(2t^2+4t+7)\\ & = & 4(t-2)\left((t+1)^2+\frac{5}{2}\right)\end{eqnarray}$$となる。したがって、$t < 2$で$f^{\prime}(t)<0$であり、$t =2$で$f^{\prime}(t) = 0$であり、かつ$t > 2$で$f^{\prime}(t) > 0$となる。なので、$t = 2$のときに$f(t)$は最小値をとり、$$\begin{eqnarray}f(2) & = & 2^4-2^2-28\cdot 2+201\\ & = & 157\end{eqnarray}$$となるから、$(1)$で求めた球の半径が$4$であることを考慮して、求める$RT$の長さの最小値は$\underline{\sqrt{157}-4}$となる。