[math][東京医科歯科大学][微分方程式]1989年東京医科歯科大学数学問題2

Table of Contents

問題

$(1)$ $f (x) = x, h (x) = x^{2} \sin x$ とするとき、次の条件 $(a), (b)$ を満たす関数 $g (x)$ を求めよ。
$(a)$ $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$
$(b)$ $f (x) g^{'} (x) - f^{'} (x) g (x) = h (x)$
$(2)$ 次の条件 $(a), (b), (c)$ を同時に満たす関数 $g (x) (0 \leq x \leq 4)$ を求めよ。
$(a)$ $g (4) = 16$
$(b)$ 区間 $0 \leq x \leq 4$ において $g^{'} (x) > 0, g (x) \geq x^{2}$
$(c)$ 曲線 $y = g (x) (0 < x < 4)$ 上の任意の点 $(x_{0}, y_{0})$ に対し、次の $2$ つの領域 $D_{1}, D_{2}$ の面積は等しい。 $\begin{array}{r} D_{1} : 0 \leq x \leq x_{0}, g (x) \leq y \leq y_{0} \\ D_{2} : 0 \leq x \leq x_{0}, x^{2} \leq y \leq g (x) \end{array}$

方針

計算が主体の微積の問題であるが、工夫の仕方でミスを減らすことはできる。

解答

$(1)$ 与えられた条件式 $(b)$ と、 $f (x) = x, h (x) = x^{2} \sin x$ から、 $\begin{matrix} (a) & x g^{'} (x) - g (x) = x^{2} \sin x \end{matrix}$ となる。この両辺を $x$ で微分して、 $g^{'} (x) + x g^{''} (x) - g^{'} (x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x$ となる。すなわち、 $x g^{''} (x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x$ である。どんな $x$ についてもこれが成り立つので、 $g^{''} (x) = 2 \sin x + x \cos x$ となる。この式を $x$ で積分すると、 $\begin{matrix} (b) & g^{'} (x) = - c o s x + x \sin x + C \end{matrix}$ となる。ただし $C$ は積分定数である。この定数を求めるために、 $(a)$ で $x = \frac{π}{2}$ とすると、条件 $(b)$ から $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$ であったから、 $\frac{π}{2} g^{'} (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2} = {(\frac{π}{2})}^{2}$ である。したがって、 $g^{'} (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 1$ である。 $(b)$ に代入して、 $C = 1$ がわかる。 $g^{'} (x) = x \sin x - \cos x + 1$ を再度 $x$ で積分して、 $g (x) = - x \cos x + x + D$ となる。ただし $D$ は積分定数である。 $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$ から、 $D = 0$ である。以上から、 $\underset{―}{g (x) = x (1 - \cos x)}$ となる。

$(2)$ 与えられた条件を立式すると、下の図も参考にして、 $\begin{array}{r} D_{1} : x_{0} y_{0} - \int_{0}^{x_{0}} g (x) d x \\ D_{2} : \int_{0}^{x_{0}} (g (x) - x^{2}) d x \end{array}$ となる。これから、 $x_{0} y_{0} - \int_{0}^{x_{0}} g (x) d x = \int_{0}^{x_{0}} (g (x) - x^{2}) d x$ である。整理して、 $2 \int_{0}^{x_{0}} g (x) d x = x_{0} g (x_{0}) + \frac{{x_{0}}^{3}}{3}$ であるが、簡単のためにこれを $\begin{matrix} (c) & 2 \int_{0}^{x} g (t) d t = x g (x) + \frac{x^{3}}{3} \end{matrix}$ と書いておく。 $(c)$ を $x$ で微分して、 $2 g (x) = g (x) + x g^{'} (x) + x^{2}$ である。整理して、 $\begin{matrix} (d) & x g^{'} (x) = g (x) - x^{2} \end{matrix}$ である。ここで、 $x = 4$ を代入して、条件 $(a)$ の $g (4) = 16$ を使って、 $g^{'} (4) = 0$ が分かる。 $(d)$ の両辺を $x$ で微分して、 $g^{'} (x) + x g^{''} (x) = g^{'} (x) - 2 x$ である。すなわち、 $x g^{''} (x) = - 2 x$ である。どんな $x$ についてもこの式が成り立つので、 $g^{''} (x) = - 2$ である。これから、 $g^{'} (x) = - 2 x + E$ となり、 $g^{'} (4) = 0$ から $E = 8$ である。さらに、 $g (x) = - x^{2} + 8 x + F$ となり、 $g (4) = 0$ から $F = 0$ である。よって、 $\underset{―}{g (x) = - x^{2} + 8 x}$ となる。この関数が条件 $(b)$ を満たしていることはすぐに分かる。

解説

$(1)$ 与えられた条件 $(b)$ の左辺は、商の微分の分子に現れる式であることに気がつけば、条件 $(b)$ を ${(\frac{g (x)}{f (x)})}^{'} = \frac{h (x)}{(f (x))^{2}}$ と変形して、答えを求めることもできる。積分をしなくても良いので計算が楽になるが、解答のように微分をしてから積分、という方法でも十分である。解答では $g^{''} (x) = 2 \sin x + x \cos x$ を積分する場面でいきなり答えが出てくるが、これを少し詳しく解説しよう。この場合、 $g^{''} (x)$ の式をじっと眺めて、 $g^{'} (x) = a x \sin x + b \cos x + C$ という形になるのではと予想する。この式を微分すると、 $g^{''} (x) = (a - b) \sin x + a x \cos x$ となる。最初の式と比較すると、 $a - b = 2, a = 1$ となり、積分を求める事ができる。 $g^{'} (x)$ を積分するところでも同様に部分積分せずに直接求めている。一般に、積分を行うよりも微分をするほうが簡単であるので、この方法を覚えておくと試験場できっと役に立つ。試しに $e^{- x} \sin x$ を積分せよ、という問題を考えてみると良い。普通に部分積分を繰り返すと高い確率でミスをする。ここは式をじっと眺めて、積分の結果が $e^{- x} (a \sin x + b \cos x)$ という形になることを予想し、これを微分して $\begin{array}{rcl} = & - e^{- x} (a \sin x + b \cos x) + e^{- x} (a \cos x - b \sin x) \\ = & e^{- x} ((- a - b) \sin x + (a - b) \cos x) \end{array}$ とする。後はこれを $e^{- x} \sin x$ と比べて定数 $a, b$ を定めてやればよい。この過程は答案用紙に書く必要はない。

$(2)$ これも $(1)$ と同じく微分してから積分するのが簡単である。 $2 \int_{0}^{x_{0}} g (x) d x = x_{0} g (x_{0}) + \frac{{x_{0}}^{3}}{3}$ のままだとゴチャゴチャするので、添字は外してしまう。出てきた答えは条件 $(a), (b)$ を用いて導いたものなので、最後に条件 $(b)$ を満たしていることを確認しておく。