[math][東京医科歯科大学][場合の数]1989年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ から $A$ 自身への写像 $g : A \to A$ に対して、集合 ${x | x \in A, g (x) = x}$ を $K (g)$ と表すことにする。いま、さいころを $6$ 回投げて $i$ 回目に出た目を $f (i) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ とする。このようにしてつくられる写像 $f : A \to A$ について、次のそれぞれの確率を求めよ。
$(1)$ $f$ が $1$ 対 $1$ の写像となる確率
$(2)$ $K (f) = {1, 2}$ となる確率
$(3)$ $f$ が $A$ の上への写像となっているという条件ものとで、 $K (f) = {1, 2}$ となる確率
$(4)$ $f$ が $1$ 対 $1$ の写像であることがわかっているとき、 $K (f)$ が空集合かつ $K (f^{\circ} f) = A$ となる確率

方針

難問で、集合 $x | x \in A, g (x) = x$ の意味を掴むまで時間がかかる。たとえば、 $f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 6, f (4) = 4, f (5) = 1, f (6) = 2$ だったとき、 $f (i) = i$ となっているのは、 $i = 4$ のときだけであるので、 $K (f)$ は ${4}$ になる。

解答

$(1)$ $6$ 回とも違うサイコロの目が出る確率だから、 $1 \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \underset{―}{\frac{5}{324}}$ が求める答えになる。

$(2)$ $f (1) = 1, f (2) = 2, f (i) \neq i (i = 3, 4, 5, 6)$ となる確率である。これは、 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times {(\frac{5}{6})}^{4} = \underset{―}{\frac{625}{46656}}$ が求める答えになる。

$(3)$ $f$ が $A$ の上への写像になっているという事象を $X$ として、 $K (f) = {1, 2}$ となる事象を $Y$ とする。求める確率は条件付き確率 $P (Y | X)$ である。 $(1)$ から $P (X) = \frac{5}{324}$ である。 $P (X \cap Y)$ を求める。たとえば $f (3) = 4$ のときを考えてみると、事象 $Y$ となるサイコロの目の出方は、 $\begin{array}{r} {f (4) = 3, f (5) = 6, f (6) = 5}, {f (4) = 6, f (5) = 3, f (6) = 5}, {f (4) = 5, f (5) = 6, f (6) = 3} \end{array}$ の $3$ 通りである。 $f (3) = 5, f (3) = 6$ のときも同じように列挙すると、それぞれ $3$ 通りの目の出方があることが分かる。したがって、 $Y$ となるサイコロの目の出方は $9$ 通りである。以上から、 $P (X \cap Y) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{9}{6^{4}}$ である。よって、 $\begin{array}{rcl} P (Y | X) & = & \frac{P (X \cap Y)}{P (X)} \\ = & \frac{9 / 6^{4}}{5 / 324} \\ = & \underset{―}{\frac{1}{80}} \end{array}$ である。

$(4)$ $K (f^{\circ} f) = A$ ということは、たとえば $f (i)$ のどの $2$ つを見ても、 $f (1) = 4, f (4) = 1$ のようなペアになっているということである。たとえば、 $f (1) = 2, f (2) = 1$ となっている場合を考えてみる。ただし、 $f (1) = 1, f (2) = 2$ は $K (f)$ が空集合という条件に適合しないので、最初から除いて考える。このとき題意に適するのは、 $\begin{array}{r} {f (3) = 4, f (4) = 3, f (5) = 6, f (6) = 5}, {f (3) = 5, f (4) = 6, f (5) = 3, f (6) = 4}, \\ {f (3) = 6, f (4) = 5, f (5) = 4, f (6) = 3} \end{array}$ となっている $3$ 通りのみである。 $f (1) = 3, f (1) = 4, f (1) = 5, f (1) = 6$ のそれぞれの場合についても同じように題意に適する $3$ 通りの組がある。したがって、 $3 \times 5 = 15$ 通りの場合が $(4)$ の条件を満たすことが分かる。 $f$ が $1$ 対 $1$ の写像であるような場合の数は $6!$ 通りであるから、求める確率は $\frac{15}{6!} = \underset{―}{\frac{1}{48}}$ となる。

解説

$(1)$ 問題の意味がわからなくてもこれは確保しておきたい。

$(2)$ 文字がチカチカするので、試験場では $(2)$ 以降全滅、という受験生も少なくはなかっただろう。題意がわかれば $(2)$ は難しくはないが、焦ってしまうかもしれない。

$(3)$ これも問題の意図が読み取れれば必ずしも難問ではないが、時間制限のある試験会場では厳しい。条件付き確率は出題範囲外の大学もあるが、定義は抑えておく必要がある。過去にも東京大学や防衛医科大学校など、実質的に出題されている大学も多い。この問題の場合、 $A$ から $A$ への写像であるから、上への写像になっているときには $1$ 対 $1$ の写像になる。したがって、 $(1)$ で求めた確率が利用できる。なお、上への写像という言葉は高校数学では用いられず、簡単に全射という。