[math][東京医科歯科大学][場合の数]1989年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$から$A$自身への写像$g: A\rightarrow A$に対して、集合$\{x| x\in A, g(x) = x\}$を$K(g)$と表すことにする。いま、さいころを$6$回投げて$i$回目に出た目を$f(i)\ \ (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$とする。このようにしてつくられる写像$f: A\rightarrow A$について、次のそれぞれの確率を求めよ。
$(1)$ $f$が$1$対$1$の写像となる確率
$(2)$ $K(f) = \{1, 2\}$となる確率
$(3)$ $f$が$A$の上への写像となっているという条件ものとで、$K(f) = \{1, 2\}$となる確率
$(4)$ $f$が$1$対$1$の写像であることがわかっているとき、$K(f)$が空集合かつ$K(f^\circ f) = A$となる確率

方針

難問で、集合$x| x\in A, g(x) = x$の意味を掴むまで時間がかかる。たとえば、$f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 6, f(4) = 4, f(5) = 1, f(6) = 2$だったとき、$f(i) = i$となっているのは、$i = 4$のときだけであるので、$K(f)$は$\{4\}$になる。

解答

$(1)$ $6$回とも違うサイコロの目が出る確率だから、$\displaystyle 1\times \frac{5}{6}\times \frac{4}{6}\times\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}\times \frac{1}{6} = \underline{\frac{5}{324}}$が求める答えになる。

$(2)$$f(1) = 1, f(2) = 2, f(i)\ne i\ \ (i = 3, 4, 5, 6)$となる確率である。これは、$\displaystyle \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}\times \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \underline{\frac{625}{46656}}$が求める答えになる。

$(3)$ $f$が$A$の上への写像になっているという事象を$X$として、$K(f) = \{1, 2\}$となる事象を$Y$とする。求める確率は条件付き確率$P(Y|X)$である。$(1)$から$\displaystyle P(X) = \frac{5}{324}$である。$P(X\cap Y)$を求める。たとえば$f(3) = 4$のときを考えてみると、事象$Y$となるサイコロの目の出方は、$$\begin{eqnarray}\{f(4) = 3, f(5) = 6, f(6) = 5\}, \{f(4) = 6, f(5) = 3, f(6) = 5\}, \{f(4) = 5, f(5) = 6, f(6) = 3\}\end{eqnarray}$$の$3$通りである。$f(3) = 5, f(3) = 6$のときも同じように列挙すると、それぞれ$3$通りの目の出方があることが分かる。したがって、$Y$となるサイコロの目の出方は$9$通りである。以上から、$$P(X\cap Y) = \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}\times \frac{9}{6^4}$$である。よって、$$\begin{eqnarray}P(Y|X) & = & \frac{P(X\cap Y)}{P(X)}\\ & = & \frac{9/6^4}{5/324}\\ & = & \underline{\frac{1}{80}}\end{eqnarray}$$である。

$(4)$ $K(f^\circ f) = A$ということは、たとえば$f(i)$のどの$2$つを見ても、$f(1) = 4, f(4) = 1$のようなペアになっているということである。たとえば、$f(1) = 2, f(2) = 1$となっている場合を考えてみる。ただし、$f(1) = 1, f(2) = 2$は$K(f)$が空集合という条件に適合しないので、最初から除いて考える。このとき題意に適するのは、$$\begin{eqnarray}\{f(3) = 4, f(4) = 3, f(5) = 6, f(6) = 5\}, \{f(3) = 5, f(4) = 6, f(5) = 3, f(6) = 4\}, \\ \{f(3) = 6, f(4) = 5, f(5) = 4, f(6) = 3\}\end{eqnarray}$$となっている$3$通りのみである。$f(1) = 3, f(1) = 4, f(1) = 5, f(1) = 6$のそれぞれの場合についても同じように題意に適する$3$通りの組がある。したがって、$3\times 5 = 15$通りの場合が$(4)$の条件を満たすことが分かる。$f$が$1$対$1$の写像であるような場合の数は$6!$通りであるから、求める確率は$\displaystyle \frac{15}{6!} = \underline{\frac{1}{48}}$となる。

解説

$(1)$問題の意味がわからなくてもこれは確保しておきたい。

$(2)$ 文字がチカチカするので、試験場では$(2)$以降全滅、という受験生も少なくはなかっただろう。題意がわかれば$(2)$は難しくはないが、焦ってしまうかもしれない。

$(3)$これも問題の意図が読み取れれば必ずしも難問ではないが、時間制限のある試験会場では厳しい。条件付き確率は出題範囲外の大学もあるが、定義は抑えておく必要がある。過去にも東京大学や防衛医科大学校など、実質的に出題されている大学も多い。この問題の場合、$A$から$A$への写像であるから、上への写像になっているときには$1$対$1$の写像になる。したがって、$(1)$で求めた確率が利用できる。なお、上への写像という言葉は高校数学では用いられず、簡単に全射という。

$(4)$ $K(f^\circ f) = A$という条件は強いので、助けられる。ちなみに、他の大学では$K(f)$が空集合になる確率を求めさせる問題がしばしば出題される。この場合の数を完全順列あるいはモンモール数と呼び、一般の場合は大変難しいが、余裕があれば確かめておくと良い。